B站:https://space.bilibili.com/181990557

MENU

矩阵分析笔记(一)线性空间

September 7, 2020 • Read: 139 • 数学阅读设置

线性空间的定义

线性空间是定义在数域 $\mathbb{F}$ 上满足某些运算规律的向量集合,而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲数域,再讲线性空间

什么是数域?数域是一种数集,元素的和、差、积、商仍在数集中(具有封闭性),称为数域。如有理数域$\mathbb{Q}$,复数域$\mathbb{C}$,实数域$\mathbb{R}$

线性空间的定义:

设$V$是以$\alpha, \beta, \gamma,...$为元素的非空集合,$\mathbb{F}$是一个数域,定义两种运算加法$\forall \alpha , \beta \in V, \; \alpha + \beta \in V$;数乘$\forall k \in \mathbb{F}, \alpha \in V, k \alpha \in V$。满足8条:加法交换律、加法结合律、数乘结合律、两个分配律,零元(单位元)存在,1(幺)元存在,负元存在。则称$V$为数域$\mathbb{F}$上的线性空间

  1. 交换律 $\alpha+\beta=\beta+\alpha$
  2. 结合律 $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$
  3. 零元素 在$V$中有一元素0(称作零元素,注:该0为向量),对于$V$中任一元素$\alpha$都有$\alpha+0=\alpha$
  4. 负元素 对于$V$中每一个元素$\alpha$,都有$V$中的元素$\beta$,使得$\alpha+\beta=0$,其中,0代表的是零元素,但不一定永远都是0这个数,视具体题目而定
  5. $\alpha · 1=\alpha$,其中$1$是数,不是向量
  6. $(\alpha l)k=\alpha (kl)$
  7. $\alpha (k+l)=\alpha k+\alpha l$
  8. $(\alpha+\beta)k=\alpha k+\beta k$

注:$\alpha,\beta,\gamma\in V\ \ 1,k,l\in \mathbb{F}$

简单点说,上述8条,只要有任意一条不满足,则$V$就不是数域$\mathbb{F}$上的线性空间(线性空间中的元素叫向量

例题1

$V=\{0\},\mathbb{F}$是数域,判断$V$是否为数域$\mathbb{F}$上的线性空间

解:判断是否线性空间,只需要证明集合$V$在数域$\mathbb{F}$上是否满足上述8条。这里明显满足条件,因此$V$是数域$\mathbb{F}$上的线性空间

例题2

$R^+$表示所有正实数集合,在$R^+$中定义加法$\oplus$与数量乘法$\odot$分别为

$$ \begin{align} a\oplus b&=ab, & \forall a,b\in R^+\\ k\odot a&=a^k, & \forall a\in R^+, k\in \mathbb{R} \end{align} $$

判断$R^+$是否构成实数域$\mathbb{R}$上的线性空间

解:通过证明交换律,结合律,零元素,负元素,数乘结合律,两个分配律。因此$R^+$是实数域$\mathbb{R}$上的线性空间

  • 交换律:$a\oplus b = ab = ba = b\oplus a$
  • 结合律:$a\oplus (b\oplus c) = a(bc) = (ab)c = (a\oplus b) \oplus c$
  • 零元素:这个比较复杂,我详细推导一下。原始定义中$\alpha\oplus 0=\alpha$,因此0就是零元素。但是对于这道题,我们需要找到一个数$x$,使得$a\oplus x=ax=a$,显然,$x=1$。因此,$R^+$存在零元素,零元素是1
  • 负元素:其实和零元素同理,原始定义中$\alpha \oplus \beta=0$,因此$\beta$就是$\alpha$的负元素。对于这道题,我们需要找到一个数$y$,使得$\alpha\oplus y=\alpha y=0$。但是要注意,这里的0是零元素,而上面我们已经推出零元素是1。所以这里我们需要证明的式子应该是$\alpha\oplus y=\alpha y=1$,显然,$y=\frac{1}{\alpha}$,并且$\alpha$是正实数集合中的元素,因此$\alpha\neq0$。因此$R^+$存在负元素,负元素是0
  • 数乘结合律:$k\odot(l\odot \alpha)=k\odot(\alpha^l)=\alpha^{lk}=\alpha^{kl}=(kl)\odot \alpha$
  • 分配律1:$(k+l)\odot \alpha=\alpha^{k+l}=\alpha^k\alpha^l=\alpha^k\oplus\alpha^l=(k\odot\alpha)\oplus (l\odot \alpha)$
  • 分配律2:$k\odot(\alpha\oplus\beta)=(\alpha\beta)^{k}=\alpha^k\beta^k=(k\odot\alpha)\oplus(k\odot\beta)$

例题3

设$V$是由系数在实数域$\mathbb{R}$上,次数为$n$的$n$次多项式$f(x)$构成的集合,其加法运算与数乘运算按照通常规定,举例说明$V$不是$\mathbb{R}$上的线性空间

解:$V$是由次数为$n$的$n$次多项式$f(x)$构成的集合,显然加法不封闭。例如$x\in V$,则$x+(-x)=0$,0的次数不再是$n$,次数下降,不再属于$V$了。同理,数乘也不封闭。例如$x\in V$,则$x·0=0$,次数同样下降,不属于$V$。因此$V$不是$\mathbb{R}$上的线性空间

线性空间的性质

加法零元(单位元)唯一

证:设$0_1,0_2$是两个零元,则$0_1=0_1+0_2=0_2$

加法负元唯一

证:设$\alpha$的负元为$\beta_1,\beta_2$,则$\beta_1=\beta_1+0=\beta_1+(\alpha+\beta_2)=(\beta_1+\alpha)+\beta_2=\beta_2$


$\forall \alpha\in V, 0·\alpha=0$,其中,第一个0是数,第二个0是向量

$\forall k\in \mathbb{F}, k·0=0$,其中的两个0是相同的,都是向量

若$k\alpha=0$,则$k=0$或$\alpha=0$

若$\alpha+\beta=\alpha+\gamma$,则$\beta=\gamma$

补充

以下内容来源哈工大严质彬老师课上讲解

数乘中的数,最好放在向量的右边

$$ \left( \begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{5} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right)·2 $$

数字2,可以看作是1×1的矩阵,而列向量是3×1的。将数放向量的右边,就满足了矩阵乘法的要求(第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数)

Archives Tip
QR Code for this page
Tipping QR Code