矩阵分析（一）线性空间

线性空间的定义

线性空间是定义在数域 $\mathbb{F}$ 上满足某些运算规律的向量集合，而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲数域，再讲线性空间

什么是数域？数域是一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中（具有封闭性），称为数域。如有理数域$\mathbb{Q}$，复数域$\mathbb{C}$，实数域$\mathbb{R}$

线性空间的定义：

设$V$是以$\alpha, \beta, \gamma,...$为元素的非空集合，$\mathbb{F}$是一个数域，定义两种运算：
加法$\forall \alpha , \beta \in V, \; \alpha + \beta \in V$
数乘$\forall k \in \mathbb{F}, \alpha \in V, k \alpha \in V$
满足8条：加法交换律、加法结合律、数乘结合律、两个分配律，零元(单位元)存在，1(幺)元存在，负元存在。则称$V$为数域$\mathbb{F}$上的线性空间

交换律 $\alpha+\beta=\beta+\alpha$
结合律 $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$
零元素在$V$中有一元素0（称作零元素，注：该0为向量），对于$V$中任一元素$\alpha$都有$\alpha+0=\alpha$
负元素对于$V$中每一个元素$\alpha$，都有$V$中的元素$\beta$，使得$\alpha+\beta=0$，其中，0代表的是零元素，但不一定永远都是0这个数，视具体题目而定
$\alpha · 1=\alpha$，其中$1$是数，不是向量
$(\alpha l)k=\alpha (kl)$
$\alpha (k+l)=\alpha k+\alpha l$
$(\alpha+\beta)k=\alpha k+\beta k$

注：$\alpha,\beta,\gamma\in V\ \ 1,k,l\in \mathbb{F}$

简单点说，上述8条，只要有任意一条不满足，则$V$就不是数域$\mathbb{F}$上的线性空间（线性空间中的元素叫向量）

例1

$V=\{0\}$，$\mathbb{F}$是数域，判断$V$是否为数域$\mathbb{F}$上的线性空间

解：判断是否线性空间，只需要证明集合$V$在数域$\mathbb{F}$上是否满足上述8条。这里明显满足条件，因此$V$是数域$\mathbb{F}$上的线性空间

例2

$R^+$表示所有正实数集合，在$R^+$中定义加法$\oplus$与数量乘法$\odot$分别为

$$ \begin{align} a\oplus b&=ab, & \forall a,b\in R^+\\ k\odot a&=a^k, & \forall a\in R^+, k\in \mathbb{R} \end{align} $$

判断$R^+$是否构成实数域$\mathbb{R}$上的线性空间

解：通过证明交换律，结合律，零元素，负元素，数乘结合律，两个分配律。因此$R^+$是实数域$\mathbb{R}$上的线性空间

交换律：$a\oplus b = ab = ba = b\oplus a$
结合律：$a\oplus (b\oplus c) = a(bc) = (ab)c = (a\oplus b) \oplus c$
零元素：这个比较复杂，我详细推导一下。原始定义中$\alpha\oplus 0=\alpha$，因此0就是零元素。但是对于这道题，我们需要找到一个数$x$，使得$a\oplus x=ax=a$，显然，$x=1$。因此，$R^+$存在零元素，零元素是1
负元素：其实和零元素同理，原始定义中$\alpha \oplus \beta=0$，因此$\beta$就是$\alpha$的负元素。对于这道题，我们需要找到一个数$y$，使得$\alpha\oplus y=\alpha y=0$。但是要注意，这里的0是零元素，而上面我们已经推出零元素是1。所以这里我们需要证明的式子应该是$\alpha\oplus y=\alpha y=1$，显然，$y=\frac{1}{\alpha}$，并且$\alpha$是正实数集合中的元素，因此$\alpha\neq0$。因此$R^+$存在负元素，负元素是0
数乘结合律：$k\odot(l\odot \alpha)=k\odot(\alpha^l)=\alpha^{lk}=\alpha^{kl}=(kl)\odot \alpha$
分配律1：$(k+l)\odot \alpha=\alpha^{k+l}=\alpha^k\alpha^l=\alpha^k\oplus\alpha^l=(k\odot\alpha)\oplus (l\odot \alpha)$
分配律2：$k\odot(\alpha\oplus\beta)=(\alpha\beta)^{k}=\alpha^k\beta^k=(k\odot\alpha)\oplus(k\odot\beta)$

例3

设$V$是由系数在实数域$\mathbb{R}$上，次数为$n$的$n$次多项式$f(x)$构成的集合，其加法运算与数乘运算按照通常规定，举例说明$V$不是$\mathbb{R}$上的线性空间

解：$V$是由次数为$n$的$n$次多项式$f(x)$构成的集合，显然加法不封闭。例如$x\in V$，则$x+(-x)=0$，0的次数不再是$n$，次数下降，不再属于$V$了。同理，数乘也不封闭。例如$x\in V$，则$x·0=0$，次数同样下降，不属于$V$。因此$V$不是$\mathbb{R}$上的线性空间

线性空间的性质

加法零元(单位元)唯一
加法负元唯一

证：设$0_1,0_2$是两个零元，则$0_1=0_1+0_2=0_2$

证：设$\alpha$的负元为$\beta_1,\beta_2$，则$\beta_1=\beta_1+0=\beta_1+(\alpha+\beta_2)=(\beta_1+\alpha)+\beta_2=\beta_2$

$\forall \alpha\in V, 0·\alpha=0$，其中，第一个0是数，第二个0是向量
$\forall k\in \mathbb{F}, k·0=0$，其中的两个0是相同的，都是向量
若$k\alpha=0$，则$k=0$或$\alpha=0$
若$\alpha+\beta=\alpha+\gamma$，则$\beta=\gamma$

补充

以下内容来源哈工大严质彬老师课上讲解

数乘中的数，最好放在向量的右边

$$ \left( \begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{5} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right)·2 $$

数字2，可以看作是1×1的矩阵，而列向量是3×1的。将数放向量的右边，就满足了矩阵乘法的要求（第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数）