矩阵分析（一）线性空间

线性空间的定义

线性空间是定义在数域 $\mathbb {F}$ 上满足某些运算规律的向量集合，而数域本身也是一种特殊的集合。所以我们先讲数域，再讲线性空间

什么是数域？数域是一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中（具有封闭性），称为数域。如有理数域 $\mathbb {Q}$，复数域 $\mathbb {C}$，实数域 $\mathbb {R}$

线性空间的定义：

设 $V$ 是以 $\alpha, \beta, \gamma,...$ 为元素的非空集合，$\mathbb {F}$ 是一个数域，定义两种运算：
加法 $\forall \alpha , \beta \in V, \; \alpha + \beta \in V$
数乘 $\forall k \in \mathbb {F}, \alpha \in V, k \alpha \in V$
满足 8 条：加法交换律、加法结合律、数乘结合律、两个分配律，零元 (单位元) 存在，1 (幺) 元存在，负元存在。则称 $V$ 为数域 $\mathbb {F}$ 上的线性空间

交换律 $\alpha+\beta=\beta+\alpha$
结合律 $\alpha+(\beta+\gamma)=(\alpha+\beta)+\gamma$
零元素在 $V$ 中有一元素 0（称作零元素，注：该 0 为向量），对于 $V$ 中任一元素 $\alpha$ 都有 $\alpha+0=\alpha$
负元素对于 $V$ 中每一个元素 $\alpha$，都有 $V$ 中的元素 $\beta$，使得 $\alpha+\beta=0$，其中，0 代表的是零元素，但不一定永远都是 0 这个数，视具体题目而定
$\alpha・1=\alpha$，其中 $1$ 是数，不是向量
$(\alpha l)k=\alpha (kl)$
$\alpha (k+l)=\alpha k+\alpha l$
$(\alpha+\beta)k=\alpha k+\beta k$

注：$\alpha,\beta,\gamma\in V\ \ 1,k,l\in \mathbb {F}$

简单点说，上述 8 条，只要有任意一条不满足，则 $V$ 就不是数域 $\mathbb {F}$ 上的线性空间（线性空间中的元素叫向量）

例 1

$V=\{0\}$，$\mathbb {F}$ 是数域，判断 $V$ 是否为数域 $\mathbb {F}$ 上的线性空间

解：判断是否线性空间，只需要证明集合 $V$ 在数域 $\mathbb {F}$ 上是否满足上述 8 条。这里明显满足条件，因此 $V$ 是数域 $\mathbb {F}$ 上的线性空间

例 2

$R^+$ 表示所有正实数集合，在 $R^+$ 中定义加法 $\oplus$ 与数量乘法 $\odot$ 分别为

$$ \begin{align} a\oplus b&=ab, & \forall a,b\in R^+\\ k\odot a&=a^k, & \forall a\in R^+, k\in \mathbb{R} \end{align} $$

判断 $R^+$ 是否构成实数域 $\mathbb {R}$ 上的线性空间

解：通过证明交换律，结合律，零元素，负元素，数乘结合律，两个分配律。因此 $R^+$ 是实数域 $\mathbb {R}$ 上的线性空间

交换律：$a\oplus b = ab = ba = b\oplus a$
结合律：$a\oplus (b\oplus c) = a (bc) = (ab) c = (a\oplus b) \oplus c$
零元素：这个比较复杂，我详细推导一下。原始定义中 $\alpha\oplus 0=\alpha$，因此 0 就是零元素。但是对于这道题，我们需要找到一个数 $x$，使得 $a\oplus x=ax=a$，显然，$x=1$。因此，$R^+$ 存在零元素，零元素是 1
负元素：其实和零元素同理，原始定义中 $\alpha \oplus \beta=0$，因此 $\beta$ 就是 $\alpha$ 的负元素。对于这道题，我们需要找到一个数 $y$，使得 $\alpha\oplus y=\alpha y=0$。但是要注意，这里的 0 是零元素，而上面我们已经推出零元素是 1。所以这里我们需要证明的式子应该是 $\alpha\oplus y=\alpha y=1$，显然，$y=\frac {1}{\alpha}$，并且 $\alpha$ 是正实数集合中的元素，因此 $\alpha\neq0$。因此 $R^+$ 存在负元素，负元素是 0
数乘结合律：$k\odot (l\odot \alpha)=k\odot (\alpha^l)=\alpha^{lk}=\alpha^{kl}=(kl)\odot \alpha$
分配律 1：$(k+l)\odot \alpha=\alpha^{k+l}=\alpha^k\alpha^l=\alpha^k\oplus\alpha^l=(k\odot\alpha)\oplus (l\odot \alpha)$
分配律 2：$k\odot (\alpha\oplus\beta)=(\alpha\beta)^{k}=\alpha^k\beta^k=(k\odot\alpha)\oplus (k\odot\beta)$

例 3

设 $V$ 是由系数在实数域 $\mathbb {R}$ 上，次数为 $n$ 的 $n$ 次多项式 $f (x)$ 构成的集合，其加法运算与数乘运算按照通常规定，举例说明 $V$ 不是 $\mathbb {R}$ 上的线性空间

解：$V$ 是由次数为 $n$ 的 $n$ 次多项式 $f (x)$ 构成的集合，显然加法不封闭。例如 $x\in V$，则 $x+(-x)=0$，0 的次数不再是 $n$，次数下降，不再属于 $V$ 了。同理，数乘也不封闭。例如 $x\in V$，则 $x・0=0$，次数同样下降，不属于 $V$。因此 $V$ 不是 $\mathbb {R}$ 上的线性空间

线性空间的性质

加法零元 (单位元) 唯一
加法负元唯一

证：设 $0_1,0_2$ 是两个零元，则 $0_1=0_1+0_2=0_2$

证：设 $\alpha$ 的负元为 $\beta_1,\beta_2$，则 $\beta_1=\beta_1+0=\beta_1+(\alpha+\beta_2)=(\beta_1+\alpha)+\beta_2=\beta_2$

$\forall \alpha\in V, 0・\alpha=0$，其中，第一个 0 是数，第二个 0 是向量
$\forall k\in \mathbb {F}, k・0=0$，其中的两个 0 是相同的，都是向量
若 $k\alpha=0$，则 $k=0$ 或 $\alpha=0$
若 $\alpha+\beta=\alpha+\gamma$，则 $\beta=\gamma$

补充

以下内容来源哈工大严质彬老师课上讲解

数乘中的数，最好放在向量的右边

$$ \left( \begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{5} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right)·2 $$

数字 2，可以看作是 1×1 的矩阵，而列向量是 3×1 的。将数放向量的右边，就满足了矩阵乘法的要求（第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数）