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第七届蓝桥杯Java A——取球博弈

March 15, 2019 • Read: 265 • 算法

两个人玩取球的游戏。
一共有N个球,每人轮流取球,每次可取集合{n1,n2,n3}中的任何一个数目。
如果无法继续取球,则游戏结束。
此时,持有奇数个球的一方获胜。
如果两人都是奇数,则为平局。

假设双方都采用最聪明的取法,
第一个取球的人一定能赢吗?
试编程解决这个问题。

输入格式:
第一行3个正整数n1 n2 n3,空格分开,表示每次可取的数目 (0<n1,n2,n3<100)
第二行5个正整数x1 x2 ... x5,空格分开,表示5局的初始球数(0<xi<1000)

输出格式:
一行5个字符,空格分开。分别表示每局先取球的人能否获胜。
能获胜则输出+,
次之,如有办法逼平对手,输出0,
无论如何都会输,则输出-

例如,输入:
1 2 3
1 2 3 4 5

程序应该输出:
+ 0 + 0 -

再例如,输入:
1 4 5
10 11 12 13 15

程序应该输出:
0 - 0 + +

再例如,输入:
2 3 5
7 8 9 10 11

程序应该输出:
+ 0 0 0 0

资源约定:
峰值内存消耗(含虚拟机) < 256M
CPU消耗 < 3000ms

对于一个局面$(num, me, you)$表示当前剩下$num$个球,你手上有$you$个,我手上有$me$个,当前这个局面可以DFS出三个局面$(num-arr[0], you, me + arr[0]),\ (num - arr[1], you, me + arr[1]),\ (num - arr[2], you, me + arr[2])$,我取完球之后,$(num, me, you)$局面留给对方,那么对于对方来说,他的局面就是$(num, you, me)$,上面的三个DFS局面就是这么来的

考虑什么时候搜索停止,假设$arr$数组按照升序排好,最小的是$arr[0]$,那么当$num < arr[0]$时,双方都拿不了了,此时要进行结算,结算就是看此时双方手里球数量的奇偶性

首先给出DFS代码

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {

    static int[] arr;
    static char res;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        arr = new int[3];
        arr[0] = cin.nextInt();
        arr[1] = cin.nextInt();
        arr[2] = cin.nextInt();
        Arrays.sort(arr);
        for (int i = 0; i < 5; i++) {
            int num = cin.nextInt();
            res = dfs(num, 0, 0);
            System.out.print(res + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    static char dfs(int num, int me, int you) {
        if (num < arr[0]) {
            if ((me & 1) == 1) {
                if ((you & 1) == 1)
                    return '0';
                else
                    return '+';
            } else {
                if ((you & 1) == 1)
                    return '-';
                else
                    return '0';
            }
        }
        boolean ping = false;
        for (int i = 0; i < 3; i++) {
            if (num >= arr[i]) {
                res = dfs(num - arr[i], you, me + arr[i]);
                if (res == '-')
                    return '+';
                if (res == '0')
                    ping = true;
            }
        }
        // 如果能走到这行,说明不存在对手输的情况
        if (ping)
            return '0';
        return '-';
    }
}

这个搜索代码无法通过全部测试用例,原因是会超时,所以考虑记忆化搜索,如果对于一个局面$(num, me, you)$返回结果,此时将结果存在一个三维数组$cache[num][me][you]$中,下次如果遇到相同的值,就直接返回这个结果。

但是这么做还不够,原因是$me$和$you$的值范围很大,可能很难同时达到$num, me, you$同时都在缓存中记录的情况。

因此换一种想法,只记录当前局面的奇偶性,参数还是$(num, me, you)$,只不过此时$me$和$you$的值只可能是1或0,1表示奇数,0表示偶数。根据奇偶相加的性质,可以推出新的局面变化,假设当前局面是(num, me, you),那么新的局面是(num - arr[i], you, (arr[i] & 1) == 0 ? me : (1 - me))

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {

    static int[] arr;
    static char res;
    static char[][][] cache = new char[1000][2][2];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        arr = new int[3];
        arr[0] = cin.nextInt();
        arr[1] = cin.nextInt();
        arr[2] = cin.nextInt();
        Arrays.sort(arr);
        for (int i = 0; i < 5; i++) {
            int num = cin.nextInt();
            res = dfs(num, 0, 0);
            System.out.print(res + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    static char dfs(int num, int me, int you) {
        if (num < arr[0]) {
            if ((me & 1) == 1) {
                if ((you & 1) == 1)
                    return cache[num][me][you] = '0';
                else
                    return cache[num][me][you] = '+';
            } else {
                if ((you & 1) == 1)
                    return cache[num][me][you] = '-';
                else
                    return cache[num][me][you] = '0';
            }
        }
        if (cache[num][me][you] != '\0')
            return cache[num][me][you];
        boolean ping = false;
        for (int i = 0; i < 3; i++) {
            if (num >= arr[i]) {
                res = dfs(num - arr[i], you, (arr[i] & 1) == 0 ? me : (1 - me));
                if (res == '-')
                    return cache[num][me][you] = '+';
                if (res == '0')
                    ping = true;
            }
        }
        // 如果能走到这行,说明不存在对手输的情况
        if (ping)
            return cache[num][me][you] = '0';
        return cache[num][me][you] = '-';
    }
}
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