第七届蓝桥杯 Java A—— 取球博弈

两个人玩取球的游戏。
一共有 N 个球，每人轮流取球，每次可取集合 {n1,n2,n3} 中的任何一个数目。
如果无法继续取球，则游戏结束。
此时，持有奇数个球的一方获胜。
如果两人都是奇数，则为平局。

假设双方都采用最聪明的取法，
第一个取球的人一定能赢吗？
试编程解决这个问题。

输入格式：
第一行 3 个正整数 n1 n2 n3，空格分开，表示每次可取的数目 (0<n1,n2,n3<100)
第二行 5 个正整数 x1 x2 ... x5，空格分开，表示 5 局的初始球数 (0<xi<1000)

输出格式：
一行 5 个字符，空格分开。分别表示每局先取球的人能否获胜。
能获胜则输出 +，
次之，如有办法逼平对手，输出 0，
无论如何都会输，则输出 -

例如，输入：
1 2 3
1 2 3 4 5

程序应该输出：
+ 0 + 0 -

再例如，输入：
1 4 5
10 11 12 13 15

程序应该输出：
0 - 0 + +

再例如，输入：
2 3 5
7 8 9 10 11

程序应该输出：
+ 0 0 0 0

资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU 消耗 < 3000ms

对于一个局面 $(num, me, you)$ 表示当前剩下 $num$ 个球，你手上有 $you$ 个，我手上有 $me$ 个，当前这个局面可以 DFS 出三个局面 $(num-arr [0], you, me + arr [0]),\ (num - arr [1], you, me + arr [1]),\ (num - arr [2], you, me + arr [2])$，我取完球之后，$(num, me, you)$ 局面留给对方，那么对于对方来说，他的局面就是 $(num, you, me)$，上面的三个 DFS 局面就是这么来的

考虑什么时候搜索停止，假设 $arr$ 数组按照升序排好，最小的是 $arr [0]$，那么当 $num < arr [0]$ 时，双方都拿不了了，此时要进行结算，结算就是看此时双方手里球数量的奇偶性

首先给出 DFS 代码

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {

    static int[] arr;
    static char res;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        arr = new int[3];
        arr[0] = cin.nextInt();
        arr[1] = cin.nextInt();
        arr[2] = cin.nextInt();
        Arrays.sort(arr);
        for (int i = 0; i < 5; i++) {
            int num = cin.nextInt();
            res = dfs(num, 0, 0);
            System.out.print(res + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    static char dfs(int num, int me, int you) {
        if (num < arr[0]) {
            if ((me & 1) == 1) {
                if ((you & 1) == 1)
                    return '0';
                else
                    return '+';
            } else {
                if ((you & 1) == 1)
                    return '-';
                else
                    return '0';
            }
        }
        boolean ping = false;
        for (int i = 0; i < 3; i++) {
            if (num >= arr[i]) {
                res = dfs(num - arr[i], you, me + arr[i]);
                if (res == '-')
                    return '+';
                if (res == '0')
                    ping = true;
            }
        }
        // 如果能走到这行，说明不存在对手输的情况
        if (ping)
            return '0';
        return '-';
    }
}

这个搜索代码无法通过全部测试用例，原因是会超时，所以考虑记忆化搜索，如果对于一个局面 $(num, me, you)$ 返回结果，此时将结果存在一个三维数组 $cache [num][me][you]$ 中，下次如果遇到相同的值，就直接返回这个结果。

但是这么做还不够，原因是 $me$ 和 $you$ 的值范围很大，可能很难同时达到 $num, me, you$ 同时都在缓存中记录的情况。

因此换一种想法，只记录当前局面的奇偶性，参数还是 $(num, me, you)$，只不过此时 $me$ 和 $you$ 的值只可能是 1 或 0，1 表示奇数，0 表示偶数。根据奇偶相加的性质，可以推出新的局面变化，假设当前局面是 (num, me, you)，那么新的局面是 (num - arr[i], you, (arr[i] & 1) == 0 ? me : (1 - me))

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {

    static int[] arr;
    static char res;
    static char[][][] cache = new char[1000][2][2];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        arr = new int[3];
        arr[0] = cin.nextInt();
        arr[1] = cin.nextInt();
        arr[2] = cin.nextInt();
        Arrays.sort(arr);
        for (int i = 0; i < 5; i++) {
            int num = cin.nextInt();
            res = dfs(num, 0, 0);
            System.out.print(res + " ");
        }
        System.out.println();
    }

    static char dfs(int num, int me, int you) {
        if (num < arr[0]) {
            if ((me & 1) == 1) {
                if ((you & 1) == 1)
                    return cache[num][me][you] = '0';
                else
                    return cache[num][me][you] = '+';
            } else {
                if ((you & 1) == 1)
                    return cache[num][me][you] = '-';
                else
                    return cache[num][me][you] = '0';
            }
        }
        if (cache[num][me][you] != '\0')
            return cache[num][me][you];
        boolean ping = false;
        for (int i = 0; i < 3; i++) {
            if (num >= arr[i]) {
                res = dfs(num - arr[i], you, (arr[i] & 1) == 0 ? me : (1 - me));
                if (res == '-')
                    return cache[num][me][you] = '+';
                if (res == '0')
                    ping = true;
            }
        }
        // 如果能走到这行，说明不存在对手输的情况
        if (ping)
            return cache[num][me][you] = '0';
        return cache[num][me][you] = '-';
    }
}