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LeetCode300. 最长上升子序列

July 14, 2018 • Read: 177 • LeetCode

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经典dp问题,用dp[i]表示前i+1个个数的最长上升子序列,也就是以ai为末尾的最长上升子序列长度,要注意的是dp初始化应该是1而不是0,因为对于每个数其本身就是一个长度为1的最长上升子序列

O($n^2$)的做法

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int [] dp = new int[1000000];
        int res = 0;
        for(int i = 0;i < n;i++) {
            dp[i] = 1;
            for(int j = 0;j < i;j++) 
                if(nums[j] < nums[i])
                    dp[i] = Math.max(dp[i],dp[j] + 1);
            res = Math.max(res,dp[i]);
        }
        return res;
    }
}

O($nlogn$)的做法

定义d[k]:长度为k的上升子序列的最末元素,若有多个长度为k的上升子序列,则记录最小的那个最末元素(d中元素是单调递增的)

首先len = 1,d[1] = a[1],然后对a[i]:若a[i]>d[len],那么len++,d[len] = a[i];

否则,我们要从d[1]到d[len-1]中找到一个j,满足d[j-1]<a[i]<d[j],则根据d的定义,我们需要更新长度为j的上升子序列的最末元素(使之为最小的)即 d[j] = a[i];最终答案就是len。利用d的单调性,在查找j的时候可以二分查找,从而时间复杂度为$nlogn$

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7,可以看出来它的LIS长度为5,我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列

首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1

接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2

再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2

继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧?Len = 3了噢

第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3

第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了

最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。于是我们知道了LIS的长度为5

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5],9更新到d[6],得出LIS的长度为6

然后应该发现一件事情了:在B中插入数据是有序的,而且是进行替换而不需要挪动——也就是说,我们可以使用二分查找,将每一个数字的插入时间优化到O(logn)~于是算法的时间复杂度就降低到了O(nlogn)~!

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[1000];
int dp[1000];
int BinarySearch(int x, int len) {//二分查找dp[]里面第一个大于等于x的数
    int left = 1, right = len, mid;
    while(left <= right) {
        mid = right + (left - right) / 2;
        if(x == dp[mid])
            return mid;
        else if(x > dp[mid])
            left = mid + 1;
        else if(x < dp[mid])
            right = mid - 1;
    }
    return left;
}
int main() {
    int N;
    cin >> N; 
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        cin >> a[i];
    dp[1] = a[1];
    int len = 1;//当前已经求出来的最长序列长度
    int j;//dp[]的下标
    for(int i = 2; i <= N; i++) {
        if(a[i] > dp[len])//如果a[i]>dp[len]   len +1
            j = ++len;
        else//反之, 更新j
            j = BinarySearch(a[i], len);
        dp[j] = a[i];//把a[i]更新入dp[]数组
    }
    cout<<len<<endl;
    return 0;
}
最后编辑于: October 10, 2018
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