经典dp问题，用dp[i]表示前i+1个数的最长上升子序列，也就是以ai为末尾的最长上升子序列长度，要注意的是dp初始化应该是1而不是0，因为对于每个数其本身就是一个长度为1的最长上升子序列
O($n^2$)的做法
class Solution {
public int lengthOfLIS(int[] nums) {
int n = nums.length;
int [] dp = new int[1000000];
int res = 0;
for(int i = 0;i < n;i++) {
dp[i] = 1;
for(int j = 0;j < i;j++)
if(nums[j] < nums[i])
dp[i] = Math.max(dp[i],dp[j] + 1);
res = Math.max(res,dp[i]);
}
return res;
}
}O($nlogn$)的做法
定义d[k]：长度为k的上升子序列的最末元素，若有多个长度为k的上升子序列，则记录最小的那个最末元素(d中元素是单调递增的)
首先len = 1,d[1] = a[1]，然后对a[i]：若a[i]>d[len]，那么len++，d[len] = a[i];
否则，我们要从d[1]到d[len-1]中找到一个j，满足d[j-1]<a[i]<d[j]，则根据d的定义，我们需要更新长度为j的上升子序列的最末元素（使之为最小的）即 d[j] = a[i];最终答案就是len。利用d的单调性，在查找j的时候可以二分查找，从而时间复杂度为$nlogn$
假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5,我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列
首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1
然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1
接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2
再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2
继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？Len = 3了噢
第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3
第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了
第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了
最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。于是我们知道了LIS的长度为5
!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS，它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5],9更新到d[6]，得出LIS的长度为6
然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logn)~于是算法的时间复杂度就降低到了O(nlogn)～!
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[1000];
int dp[1000];
int BinarySearch(int x, int len) {//二分查找dp[]里面第一个大于等于x的数
int left = 1, right = len, mid;
while(left <= right) {
mid = right + (left - right) / 2;
if(x == dp[mid])
return mid;
else if(x > dp[mid])
left = mid + 1;
else if(x < dp[mid])
right = mid - 1;
}
return left;
}
int main() {
int N;
cin >> N;
memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i = 1; i <= N; i++)
cin >> a[i];
dp[1] = a[1];
int len = 1;//当前已经求出来的最长序列长度
int j;//dp[]的下标
for(int i = 2; i <= N; i++) {
if(a[i] > dp[len])//如果a[i]>dp[len] len +1
j = ++len;
else//反之， 更新j
j = BinarySearch(a[i], len);
dp[j] = a[i];//把a[i]更新入dp[]数组
}
cout<<len<<endl;
return 0;
}