LeetCode300. 最长上升子序列

经典 dp 问题，用 dp [i] 表示前 i+1 个数的最长上升子序列，也就是以 ai 为末尾的最长上升子序列长度，要注意的是 dp 初始化应该是 1 而不是 0，因为对于每个数其本身就是一个长度为 1 的最长上升子序列

O ($n^2$) 的做法

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int [] dp = new int[1000000];
        int res = 0;
        for(int i = 0;i < n;i++) {
            dp[i] = 1;
            for(int j = 0;j < i;j++) 
                if(nums[j] < nums[i])
                    dp[i] = Math.max(dp[i],dp[j] + 1);
            res = Math.max(res,dp[i]);
        }
        return res;
    }
}

O ($nlogn$) 的做法

定义 d [k]：长度为 k 的上升子序列的最末元素，若有多个长度为 k 的上升子序列，则记录最小的那个最末元素 (d 中元素是单调递增的)

首先 len = 1,d [1] = a [1]，然后对 a [i]：若 a [i]>d [len]，那么 len++，d [len] = a [i];

否则，我们要从 d [1] 到 d [len-1] 中找到一个 j，满足 d [j-1]<a [i]<d [j]，则根据 d 的定义，我们需要更新长度为 j 的上升子序列的最末元素（使之为最小的）即 d [j] = a [i]; 最终答案就是 len。利用 d 的单调性，在查找 j 的时候可以二分查找，从而时间复杂度为 $nlogn$

假设存在一个序列 d [1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的 LIS 长度为 5, 我们定义一个序列 B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列

首先，把 d [1] 有序地放到 B 里，令 B [1] = 2，就是说当只有 1 一个数字 2 的时候，长度为 1 的 LIS 的最小末尾是 2。这时 Len=1

然后，把 d [2] 有序地放到 B 里，令 B [1] = 1，就是说长度为 1 的 LIS 的最小末尾是 1，d [1]=2 已经没用了，很容易理解吧。这时 Len=1

接着，d [3] = 5，d [3]>B [1]，所以令 B [1+1]=B [2]=d [3]=5，就是说长度为 2 的 LIS 的最小末尾是 5，很容易理解吧。这时候 B [1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d [4] = 3，它正好加在 1,5 之间，放在 1 的位置显然不合适，因为 1 小于 3，长度为 1 的 LIS 最小末尾应该是 1，这样很容易推知，长度为 2 的 LIS 最小末尾是 3，于是可以把 5 淘汰掉，这时候 B [1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d [5] = 6，它在 3 后面，因为 B [2] = 3, 而 6 在 3 后面，于是很容易可以推知 B [3] = 6, 这时 B [1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？Len = 3 了噢

第 6 个，d [6] = 4，你看它在 3 和 6 之间，于是我们就可以把 6 替换掉，得到 B [3] = 4。B [1..3] = 1, 3, 4， Len 继续等于 3

第 7 个，d [7] = 8，它很大，比 4 大，嗯。于是 B [4] = 8。Len 变成 4 了

第 8 个，d [8] = 9，得到 B [5] = 9，嗯。Len 继续增大，到 5 了

最后一个，d [9] = 7，它在 B [3] = 4 和 B [4] = 8 之间，所以我们知道，最新的 B [4] =7，B [1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。于是我们知道了 LIS 的长度为 5

!!!!! 注意。这个 1,3,4,7,9 不是 LIS，它只是存储的对应长度 LIS 的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个 d [9] = 7 更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把 8 更新到 d [5],9 更新到 d [6]，得出 LIS 的长度为 6

然后应该发现一件事情了：在 B 中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动 —— 也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到 O (logn)~ 于是算法的时间复杂度就降低到了 O (nlogn)～!

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int a[1000];
int dp[1000];
int BinarySearch(int x, int len) {//二分查找dp[]里面第一个大于等于x的数
    int left = 1, right = len, mid;
    while(left <= right) {
        mid = right + (left - right) / 2;
        if(x == dp[mid])
            return mid;
        else if(x > dp[mid])
            left = mid + 1;
        else if(x < dp[mid])
            right = mid - 1;
    }
    return left;
}
int main() {
    int N;
    cin >> N; 
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        cin >> a[i];
    dp[1] = a[1];
    int len = 1;//当前已经求出来的最长序列长度
    int j;//dp[]的下标
    for(int i = 2; i <= N; i++) {
        if(a[i] > dp[len])//如果a[i]>dp[len]   len +1
            j = ++len;
        else//反之， 更新j
            j = BinarySearch(a[i], len);
        dp[j] = a[i];//把a[i]更新入dp[]数组
    }
    cout<<len<<endl;
    return 0;
}