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枚举+优化(6)——双指针优化2

June 9, 2018 • Read: 229 • 算法

例3.题目链接:hihoCoder1514

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 先写一个暴力枚举的伪代码:

ans = MAX_INT
For i = 1...M
{
    For j = 1...N
    {
        For k = 1...L
        {
            s = |Ai - Bj| + |Bj - Ck| + |Ai - Ck|
            IF s < ans
                ans = s
        }
    }
}
print ans

 这个算法的时间复杂度是O(NML),NML是三个数组的长度,最大值都是10万,显然会超时

优化1

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 第一个数组是0,1,3,8,12,15,我们从中选中了8。第二个数组是1,2,4,5,10,13,第三个数组未知,什么清空都有可能。假设现在已经确定第一个数组选出8,我们从直觉上肯定会选像5,10这样的离8近的数,不会选1,13这样离8很远的数,下面我们仔细分析一下,假如选8,那到底是选4还是选5,或者是选10
 事实上可以证明,假设我们从第一个数组里选的是A[i],那么我们第二个数组里选出的数一定<font color = red >是“小于等于A[i]的数里最大的”以及“大于等于A[i]的数里最小的”二选一</font>。例如在上面的例子中,我们已经确定了第一个数组选8,那么我们在第二个数组里只用考虑5和10,小于5的数一定不会比5更优,大于10的数一定不会比10更优。

image

 我们看上面的图,三条黑色水平线是3个数轴,代表三个数组。数轴上的方块代表相应数组中的一个数,并且方块越靠右,代表数越大。我们假设从A数组中选出黄色方块这个数,假设C数组挑选的数是紫色方块,在绿色方块的右边,比绿色方块大,这时选蓝色方块时,3个数的差是3段蓝色的区间。选绿色方块时,3个数的差是3段绿色的区间,显然蓝色的长度和小于绿色的长度和。

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 再看上图,是另一种情况,假设C数组挑选的数在绿色方块左边,这时可以看到蓝色区间和绿色区间的长度相等,所以综上所述,选绿色一定不比选蓝色优。

 有了这个结论我们就可以利用双指针的思路了。首先我们把3个数组都排序,然后依次枚举A数组中的一个数A[i],表示我们从A数组挑选出的数是A[i]。这时,我们求出B数组的一个下标j,满足B[j-1] <= A[i] <= B[j],然后再求出C数组的一个下标k,满足C[k-1] <= A[i] <= C[k]。因为我们知道包含A[i]的最优解一定在B[j-1]和B[j]中二选一,C[k-1]和C[k]中二选一,总共四种情况:(A[i],B[j-1],C[k-1]),(A[i],B[j],C[k-1]),(A[i],B[j-1],C[k]),(A[i],B[j],C[k])

#include<iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long ans = 1000000000000000L;
void test(long long x,long long y,long long z)
{
    long long d = abs(x - y) + abs(x - z) + abs(y - z);
    ans = ans>d?d:ans;
}
int main()
{
    int n,m,l;
    cin >> n >> m >> l;
    int a[100010],b[100010],c[100010];
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        cin >> a[i];
    for(int i = 1;i <= m;i++)
        cin >> b[i];
    for(int i = 1;i <= l;i++)
        cin >> c[i];
    a[0] = b[0] = c[0] = -1000000000;//为了保证比a[i]小的数一定存在 
    a[n + 1] = b[m + 1] = c[l + 1] = 1000000000;//为了保证比a[i]大的数一定存在 
    sort(a,a + n + 1);
    sort(b,b + m + 1);
    sort(c,c + l + 1);
    for(int i = 1,j = 0,k = 0;i <= n;i++)
    {
        while(b[j + 1] < a[i])
            j++;
        while(c[k + 1] < a[i])
            k++;
        test(a[i],b[j],c[k]);
        test(a[i],b[j + 1],c[k]);
        test(a[i],b[j],c[k + 1]);
        test(a[i],b[j + 1],c[k + 1]);
    }
    cout << ans; 
    return 0;
}

例4.题目链接:hihoCoder1607

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思路

 一般的暴力枚举这题肯定是过不了的,数据量太大,那我们就要想办法优化,能不能只枚举Ai,而将符合条件的Aj数量直接算出来,而不是枚举出来。其实我们仔细分析一下题目的三个条件,就能看出对于某个确定的Ai来说,他发的好友请求Aj一定是在某个年龄区间的。

 比如假设Ai=8,那么年龄在[9,72]闭区间的用户都会被发送好友请求。并且随着Ai增大,这个年龄区间也是在逐渐向右移动的。向右移动是指区间的左右端点都是增大的,不会减小

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for(int i = 0;i < n;i++)
        cin >> a[i];
    sort(a.begin(),a.end());
    int l = 0,r = -1;
    long long ans = 0;
    for(int i = 0;i < n ;i++)
    {
        while(l < n && a[l] * 8 < a[i] + 64)
            l++;
        while(r + 1 < n && a[r + 1] <= a[i] * 8 + 8 
           &&(a[i] >= 88888 || a[r + 1] <= 88888))
            r++;
        if(l <= r)
        {
            ans += (r - l + 1);
            if(i >= l && i <= r)//如果这个区间包含i,就要减掉
                ans--;
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}
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