枚举 + 优化（6）—— 双指针优化 2

例 3. 题目链接：hihoCoder1514

先写一个暴力枚举的伪代码：

ans = MAX_INT
For i = 1...M
{
    For j = 1...N
    {
        For k = 1...L
        {
            s = |Ai - Bj| + |Bj - Ck| + |Ai - Ck|
            IF s < ans
                ans = s
        }
    }
}
print ans

这个算法的时间复杂度是 O (NML)，NML 是三个数组的长度，最大值都是 10 万，显然会超时

优化 1

第一个数组是 0，1，3，8，12，15，我们从中选中了 8。第二个数组是 1，2，4，5，10，13，第三个数组未知，什么清空都有可能。假设现在已经确定第一个数组选出 8，我们从直觉上肯定会选像 5，10 这样的离 8 近的数，不会选 1，13 这样离 8 很远的数，下面我们仔细分析一下，假如选 8，那到底是选 4 还是选 5，或者是选 10

事实上可以证明，假设我们从第一个数组里选的是 A [i]，那么我们第二个数组里选出的数一定是小于等于 A [i] 的数里最大的以及大于等于 A [i] 的数里最小的二选一。例如在上面的例子中，我们已经确定了第一个数组选 8，那么我们在第二个数组里只用考虑 5 和 10，小于 5 的数一定不会比 5 更优，大于 10 的数一定不会比 10 更优

我们看上面的图，三条黑色水平线是 3 个数轴，代表三个数组。数轴上的方块代表相应数组中的一个数，并且方块越靠右，代表数越大。我们假设从 A 数组中选出黄色方块这个数，假设 C 数组挑选的数是紫色方块，在绿色方块的右边，比绿色方块大，这时选蓝色方块时，3 个数的差是 3 段蓝色的区间。选绿色方块时，3 个数的差是 3 段绿色的区间，显然蓝色的长度和小于绿色的长度和。

再看上图，是另一种情况，假设 C 数组挑选的数在绿色方块左边，这时可以看到蓝色区间和绿色区间的长度相等，所以综上所述，选绿色一定不比选蓝色优

有了这个结论我们就可以利用双指针的思路了。首先我们把 3 个数组都排序，然后依次枚举 A 数组中的一个数 A [i]，表示我们从 A 数组挑选出的数是 A [i]。这时，我们求出 B 数组的一个下标 j，满足 B [j-1] <= A [i] <= B [j]，然后再求出 C 数组的一个下标 k，满足 C [k-1] <= A [i] <= C [k]。因为我们知道包含 A [i] 的最优解一定在 B [j-1] 和 B [j] 中二选一，C [k-1] 和 C [k] 中二选一，总共四种情况：(A [i],B [j-1],C [k-1])，(A [i],B [j],C [k-1])，(A [i],B [j-1],C [k])，(A [i],B [j],C [k])

#include<iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
long long ans = 1000000000000000L;
void test(long long x,long long y,long long z)
{
    long long d = abs(x - y) + abs(x - z) + abs(y - z);
    ans = ans>d?d:ans;
}
int main()
{
    int n,m,l;
    cin >> n >> m >> l;
    int a[100010],b[100010],c[100010];
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        cin >> a[i];
    for(int i = 1;i <= m;i++)
        cin >> b[i];
    for(int i = 1;i <= l;i++)
        cin >> c[i];
    a[0] = b[0] = c[0] = -1000000000;//为了保证比a[i]小的数一定存在 
    a[n + 1] = b[m + 1] = c[l + 1] = 1000000000;//为了保证比a[i]大的数一定存在 
    sort(a,a + n + 1);
    sort(b,b + m + 1);
    sort(c,c + l + 1);
    for(int i = 1,j = 0,k = 0;i <= n;i++)
    {
        while(b[j + 1] < a[i])
            j++;
        while(c[k + 1] < a[i])
            k++;
        test(a[i],b[j],c[k]);
        test(a[i],b[j + 1],c[k]);
        test(a[i],b[j],c[k + 1]);
        test(a[i],b[j + 1],c[k + 1]);
    }
    cout << ans; 
    return 0;
}

例 4. 题目链接：hihoCoder1607

思路

一般的暴力枚举这题肯定是过不了的，数据量太大，那我们就要想办法优化，能不能只枚举 $A_i$，而将符合条件的 $A_j$ 数量直接算出来，而不是枚举出来。其实我们仔细分析一下题目的三个条件，就能看出对于某个确定的 $A_i$ 来说，他发的好友请求 $A_j$ 一定是在某个年龄区间的

比如假设 $A_i>=8$，那么年龄在 [9,72] 闭区间的用户都会被发送好友请求。并且随着 $A_i$ 增大，这个年龄区间也是在逐渐向右移动的。向右移动是指区间的左右端点都是增大的，不会减小

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for(int i = 0;i < n;i++)
        cin >> a[i];
    sort(a.begin(),a.end());
    int l = 0,r = -1;
    long long ans = 0;
    for(int i = 0;i < n ;i++)
    {
        while(l < n && a[l] * 8 < a[i] + 64)
            l++;
        while(r + 1 < n && a[r + 1] <= a[i] * 8 + 8 
           &&(a[i] >= 88888 || a[r + 1] <= 88888))
            r++;
        if(l <= r)
        {
            ans += (r - l + 1);
            if(i >= l && i <= r)//如果这个区间包含i，就要减掉
                ans--;
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}