这篇文章主要是对EMNLP2021上的论文Raise a Child in Large Language Model: Towards Effective and Generalizable Fine-tuning进行讲解。论文标题有些抽象，但是用作者的话来说，这篇论文的思想可以归结为两个词：Child Tuning
虽然这篇文章主要针对NLP任务以及NLP相关的模型，但实际上我看完之后觉得这是一个通用的方法，CV领域也可以使用。具体来说，目前预训练模型的参数非常大，在下游任务中，我们只能用有限的训练集对模型进行微调，有一种螳臂当车的感觉，因此作者提出了一种新的微调方法——Child Tuning。如果用一句话概述其思想那就是：在反向传播过程中，我们不用更新所有的参数，只更新某些参数即可，而这些被更新的参数所对应的网络结构，我们叫做Child Network（子网络）
如上图所示，上面一行是正常的反向传播过程，其中
$$ \Delta w_0 = -\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}_0}\tag{1} $$
下标0不是指某一个参数，而是指第0个迭代过程，$\eta$是学习率。对于下面一行来说，$\Delta \mathbf{w}_0$有一部分被MASK掉了，导致这里面的梯度为0
$$ \Delta w_0 = -\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}_0} \odot M\tag{2} $$
其中，$M$矩阵内的元素非0即1，$\odot$是矩阵内的元素做对应位置相乘。我们可以用两步来概括Child Tuning的过程：
- 在预训练模型中发现并确认Child Network，并生成对应Weights的0-1 MASK
- 反向传播计算完梯度后，仅对Child Network中的参数进行更新
所以现在的问题是如何确认Child Network？
How to find Child Network?
实际上我们并不需要真的找到Child Network，只要确定矩阵$M$即可。论文提供了两种算法用于生成矩阵$M$，分别是任务无关算法Child_Tuning_F (F for Task-Free)以及与具体任务相关的算法Child_Tuning_D (D for Task-Drivern)
Child_Tuning_F
任务无关算法的意思是与你具体所做的具体任务没有关系，都可以使用这个算法，是一种通用的方法。具体来说，此时$M$是根据伯努利分布生成的
$$ \begin{aligned} \mathbf{w}_{t+1}&=\mathbf{w}_{t}-\eta \frac{\partial \mathcal{L}\left(\mathbf{w}_{t}\right)}{\partial \mathbf{w}_{t}} \odot M_{t}\\ M_{t} &\sim \text{Bernoulli}(p_F) \end{aligned}\tag{3} $$
其中$p_F\in [0,1]$是一个超参数，他控制着Child Network的大小，如果$p_F=1$，则Child Network就是原网络，此时Child Tuning就是Fine Tuning；如果$p_F=0$，则没有任何参数会被更新。下面是我写的一个简单模拟的代码帮助大家理解
import torch
from torch.distributions.bernoulli import Bernoulli
gradient = torch.randn((3, 4)) # 这里用一个随机生成的矩阵来代表梯度
p_F = 0.2
gradient_mask = Bernoulli(gradient.new_full(size=gradien.size(), fill_value=p_F))
gradient_mask = gradient_mask.sample() / p_F # 除以p_F是为了保证梯度的期望不变
print(gradient_mask)
gradient *= gradient_mask
print(gradient)Bernoulli是一个类，生成的gradient_mask是一个对象，我们需要调用这个对象的sample()方法才能得到一个矩阵。其中比较重要的一点是虽然我们得到了0-1 MASK，但我们需要将这个MASK内所有的1扩大$1/p_F$倍以维持梯度的期望值
别的梯度都不在了，活着的梯度要带着其他人的意志坚强的反向传播下去啊！
Child_Tuning_D
考虑到存在不同的下游任务，作者提出一种与具体任务相关的算法Child_Tuning_D，它可以检测出对目标任务最重要的子网络（或者参数）。具体来说，作者采用Fisher信息估计法来寻找与特定下游任务高度相关的参数。形式上，模型参数$\mathbf{w}$的Fisher Information Matrix(FIM)定义如下：
$$ \mathbf{F}(\mathbf{w})=\mathbb{E}\left[\left(\frac{\partial \log p(y \mid \mathbf{x} ; \mathbf{w})}{\partial \mathbf{w}}\right)\left(\frac{\partial \log p(y \mid \mathbf{x} ; \mathbf{w})}{\partial \mathbf{w}}\right)^{\top}\right]\tag{4} $$
其中，$x,y$分别是输入和输出，由此我们可以推出第$i$个参数的Fisher信息如下：
$$ \mathbf{F}^{(i)}(\mathbf{w})=\frac{1}{|D|} \sum_{j=1}^{|D|}\left(\frac{\partial \log p\left(y_{j} \mid \mathbf{x}_{j} ; \mathbf{w}\right)}{\partial \mathbf{w}^{(i)}}\right)^{2}\tag{5} $$
其中，$|D|$是所有样本的数量。作者认为，参数对目标任务越重要，其Fisher信息越大，因此Child Tuning是由Fisher信息最高的那些参数组成，此时Child Network的比例为
$$ p_D = \frac{\mathcal{\mid C\mid}}{\mid \mathcal{C} \mid + \mid \bar{\mathcal{C}}\mid} \in (0,1]\tag{6} $$
其中$| \bar{\mathcal{C}}| $表示非子网络，当$p_D=1$时，Child Tuning就退化为了Fine Tuning。实际上Fisher信息的计算是相当耗时的，如果我们每次反向传播后都去计算一次所有参数的Fisher信息，然后找出最大的前几个是很麻烦的，因此作者提出在真正开始训练之前，我们先对所有样本进行一次完整（一个Epoch）的前向传播和反向传播，此时计算出Fisher信息最高的那些参数，以及此时确定的Child Network以后就不再变化了，就以这一次所选定的为准
下面给出计算Fisher信息的代码
def calculate_fisher():
gradient_mask, p_F = {}, 0.2
train_loader = torch.utils.data.DataLoader(train_dataset, batch_size, shuffle=True)
N = len(train_dataloader) # N = |D|
for name, params in model.named_parameters():
if 'layer' in name:
gradient_mask[params] = params.new_zeros(params.size())
for batch in train_loader:
outpus = model(**batch)
loss = outpus['loss'] if isinstance(outpus, dict) else outputs[0]
loss.backward()
for name, params in model.named_parameters():
if 'layer' in name:
torch.nn.utils.clip_grad_norm(params, 1)
gradient_mask[params] += (params.grad ** 2) / N
model.zero_grad()
r = None
for k, v in gradient_mask.items():
v = v.view(-1).cpu().numpy() # flatten
if r is None:
r = v
else:
r = np.append(r, v)
# polar = np.percentile(a, q) # a中有q%的元素小于polar
polar = np.percentile(r, (1-p_F)*100)
for k in gradient_mask:
gradient_mask[k] = gradient_mask[k] >= polar
print('Polar => {}'.format(polar))
return gradient_maskProof
如果这篇论文就讲了这些东西，很大概率是中不了EMNLP的，之所以被录用了，我个人觉得和这篇论文里大量的证明有关，作者证明了使用Child Tuning可以帮助模型逃离局部极小值点，接下来我尝试着把论文中的证明部分说清楚
首先我们假设$\mathbf{g}^{(i)}$是给定样本$\mathbf{x}^{(i)}$时参数$\mathbf{w}$的梯度，并且它服从正态分布$\mathbf{g}^{(i)}\sim N(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}}, \sigma^2_\mathbf{g}\mathbf{I}_k)$，定义$\mathbf{g}=\sum\limits_{i=1}^{|\mathcal{B}|}\frac{\mathbf{g}^{(i)}}{|\mathcal{B}|}$，则有
$$ \Delta \mathbf{w} =-\eta \sum\limits_{i=1}^{|\mathcal{B}|}\frac{\mathbf{g}^{(i)}}{|\mathcal{B}|}\odot M = -\eta \mathbf{g}\odot M\tag{7} $$
对于$\mathbf{g}$，我们有
$$ \mathbb{E}[\mathbf{g}]=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}}, \Sigma[\mathbf{g}]=\frac{\sigma^2_{\mathbf{g}}\mathbf{I}_k}{|\mathcal{B}|}\tag{8} $$
设$\hat{\mathbf{g}} = \frac{\mathbf{g}}{p}\odot M$，其中$p$是$p_D$或$p_F$（看你用的哪种算法），则
$$ \begin{aligned} \mathbb{E}[\hat{\mathbf{g}}] &= \mathbb{E}[\frac{1}{p}{\mathbf{g}}\odot M]\\ &= \frac{1}{p}\mathbb{E}[\mathbf{g}\odot M]\\ &=\frac{p}{p}\mathbb{E}[\mathbf{g}]\\ &= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}} \end{aligned}\tag{9} $$
上面的公式推导其实并不严格，例如分子的$p$是从哪来的就没法解释，分子的$p$只有可能是$\mathbb{E}[M]$的结果，可是$M$是个矩阵，矩阵的期望怎么就变成一个数了呢？但要强行解释也可以，因为将$M$中所有的1加起来除以$M$内的所有元素似乎也是等于$p$的
设$\hat{g_i}, g_i$分别是$\hat{\mathbf{g}}, \mathbf{g}$第$i$维度上的值，那么有$\hat{g_i} = \frac{g_i}{p}\odot M_i$
$$ \begin{aligned} \mathbf{D}[\hat{g_i}] &= \mathbb{E}[\hat{g_i}^2] - (\mathbb{E}[\hat{g_i}])^2\\ &=p\mathbb{E}[(\frac{g_i}{p})^2] - (\mathbb{E}[\hat{g_i}])^2\\ &=\frac{\mathbb{E}[g_i^2]}{p} - (\mathbb{E}[\hat{g_i}])^2\\ &=\frac{(\mathbb{E}[g_i])^2 + \mathbf{D}[g_i]}{p} - (\mathbb{E}[\hat{g_i}])^2\\ &=\frac{(\mathbb{E}[g_i])^2 + \mathbf{D}[g_i]}{p} - (\mathbb{E}[\frac{g_i}{p}\odot M_i])^2\\ &=\frac{(\mathbb{E}[g_i])^2 + \mathbf{D}[g_i]}{p} - (\mathbb{E}[{g_i}])^2\\ &=\frac{\mathbf{D}[g_i]}{p} + \frac{(1-p)(\mathbb{E}[\hat{g_i}])^2}{p} \end{aligned}\tag{10} $$
因此
$$ \begin{aligned} \Sigma[\hat{\mathbf{g}}] &= \frac{\Sigma[\mathbf{g}]}{p} + \frac{(1-p)\text{diag}\{\mathbb{E}[\mathbf{g}]\}^2}{p}\\ &=\frac{\sigma^2_{\mathbf{g}}\mathbf{I}_k}{p|\mathcal{B}|} + \frac{(1-p)\text{diag}\{\mathbb{E}[\mathbf{g}]\}^2}{p} \end{aligned}\tag{11} $$
最终我们就得到
$$ \begin{aligned} \mathbb{E}[\boldsymbol{\Delta} \mathbf{w}] &=-\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}} \\ \Sigma[\boldsymbol{\Delta} \mathbf{w}] &=\frac{\eta^{2} \sigma_{\mathbf{g}}^{2} \mathbf{I}_{k}}{p|\mathcal{B}|}+\frac{(1-p) \eta^{2} \operatorname{diag}\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}}\right\}^{2}}{p} \end{aligned}\tag{12} $$
特别地，当参数$\mathbf{w}$训练到局部极小值点时，$\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial \mathbf{w}}=0$，此时$\mathbb{E}[\Delta \mathbf{w}]=0, \Sigma[\Delta \mathbf{w}] = \frac{\eta^{2} \sigma_{\mathbf{g}}^{2} \mathbf{I}_{k}}{p|\mathcal{B}|}$，我们注意到$\Sigma[\Delta \mathbf{w}]$是关于$p$的一个递减函数，$p$越大，$\Sigma[\Delta \mathbf{w}]$越小，极端情况是$p=1$，此时Child Tuning退化为Fine Tuning，并且$\Sigma[\Delta \mathbf{w}]$最小，相当于它的变化量每次都不大，因此就很难跳出局部极小值点；$p$越小，$\Sigma[\Delta \mathbf{w}]$越大，相当于它的变化量每次都很大，因此比较容易跳出局部极小值点
个人总结
这篇论文刚读的时候觉得很厉害，但了解之后就觉得这其实就是一个反向传播版的Dropout，实际的创新并没有特别大，包括其中提到的Fisher信息也并不是这篇论文提出来的。再就是论文中的实验确实很多，实验结果表明，相比于Fine Tuning大约可以提升1.5～8.6个点不等。最后要说一下这篇论文的公式证明部分，我个人觉得这篇论文的证明其实没有很严谨，例如为什么一个矩阵的期望就变成一个数了。总的来说这个方法可以作为打比赛时候的一个Trick来使用
