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Child Tuning: 反向传播版的Dropout

November 8, 2021 • Read: 294 • Deep Learning阅读设置

这篇文章主要是对EMNLP2021上的论文Raise a Child in Large Language Model: Towards Effective and Generalizable Fine-tuning进行讲解。论文标题有些抽象,但是用作者的话来说,这篇论文的思想可以归结为两个词:Child Tuning

虽然这篇文章主要针对NLP任务以及NLP相关的模型,但实际上我看完之后觉得这是一个通用的方法,CV领域也可以使用。具体来说,目前预训练模型的参数非常大,在下游任务中,我们只能用有限的训练集对模型进行微调,有一种螳臂当车的感觉,因此作者提出了一种新的微调方法——Child Tuning。如果用一句话概述其思想那就是:在反向传播过程中,我们不用更新所有的参数,只更新某些参数即可,而这些被更新的参数所对应的网络结构,我们叫做Child Network(子网络)

如上图所示,上面一行是正常的反向传播过程,其中

$$ \Delta w_0 = -\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}_0}\tag{1} $$

下标0不是指某一个参数,而是指第0个迭代过程,$\eta$是学习率。对于下面一行来说,$\Delta \mathbf{w}_0$有一部分被MASK掉了,导致这里面的梯度为0

$$ \Delta w_0 = -\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}_0} \odot M\tag{2} $$

其中,$M$矩阵内的元素非0即1,$\odot$是矩阵内的元素做对应位置相乘。我们可以用两步来概括Child Tuning的过程:

  1. 在预训练模型中发现并确认Child Network,并生成对应Weights的0-1 MASK
  2. 反向传播计算完梯度后,仅对Child Network中的参数进行更新

所以现在的问题是如何确认Child Network?

How to find Child Network?

实际上我们并不需要真的找到Child Network,只要确定矩阵$M$即可。论文提供了两种算法用于生成矩阵$M$,分别是任务无关算法Child_Tuning_F (F for Task-Free)以及与具体任务相关的算法Child_Tuning_D (D for Task-Drivern)

Child_Tuning_F

任务无关算法的意思是与你具体所做的具体任务没有关系,都可以使用这个算法,是一种通用的方法。具体来说,此时$M$是根据伯努利分布生成的

$$ \begin{aligned} \mathbf{w}_{t+1}&=\mathbf{w}_{t}-\eta \frac{\partial \mathcal{L}\left(\mathbf{w}_{t}\right)}{\partial \mathbf{w}_{t}} \odot M_{t}\\ M_{t} &\sim \text{Bernoulli}(p_F) \end{aligned}\tag{3} $$

其中$p_F\in [0,1]$是一个超参数,他控制着Child Network的大小,如果$p_F=1$,则Child Network就是原网络,此时Child Tuning就是Fine Tuning;如果$p_F=0$,则没有任何参数会被更新。下面是我写的一个简单模拟的代码帮助大家理解

import torch
from torch.distributions.bernoulli import Bernoulli

gradient = torch.randn((3, 4)) # 这里用一个随机生成的矩阵来代表梯度
p_F = 0.2
gradient_mask = Bernoulli(gradient.new_full(size=gradien.size(), fill_value=p_F))
gradient_mask = gradient_mask.sample() / p_F # 除以p_F是为了保证梯度的期望不变
print(gradient_mask)

gradient *= gradient_mask
print(gradient)

Bernoulli是一个类,生成的gradient_mask是一个对象,我们需要调用这个对象的sample()方法才能得到一个矩阵。其中比较重要的一点是虽然我们得到了0-1 MASK,但我们需要将这个MASK内所有的1扩大$1/p_F$倍以维持梯度的期望值

别的梯度都不在了,活着的梯度要带着其他人的意志坚强的反向传播下去啊!

Child_Tuning_D

考虑到存在不同的下游任务,作者提出一种与具体任务相关的算法Child_Tuning_D,它可以检测出对目标任务最重要的子网络(或者参数)。具体来说,作者采用Fisher信息估计法来寻找与特定下游任务高度相关的参数。形式上,模型参数$\mathbf{w}$的Fisher Information Matrix(FIM)定义如下:

$$ \mathbf{F}(\mathbf{w})=\mathbb{E}\left[\left(\frac{\partial \log p(y \mid \mathbf{x} ; \mathbf{w})}{\partial \mathbf{w}}\right)\left(\frac{\partial \log p(y \mid \mathbf{x} ; \mathbf{w})}{\partial \mathbf{w}}\right)^{\top}\right]\tag{4} $$

其中,$x,y$分别是输入和输出,由此我们可以推出第$i$个参数的Fisher信息如下:

$$ \mathbf{F}^{(i)}(\mathbf{w})=\frac{1}{|D|} \sum_{j=1}^{|D|}\left(\frac{\partial \log p\left(y_{j} \mid \mathbf{x}_{j} ; \mathbf{w}\right)}{\partial \mathbf{w}^{(i)}}\right)^{2}\tag{5} $$

其中,$|D|$是所有样本的数量。作者认为,参数对目标任务越重要,其Fisher信息越大,因此Child Tuning是由Fisher信息最高的那些参数组成,此时Child Network的比例为

$$ p_D = \frac{\mathcal{\mid C\mid}}{\mid \mathcal{C} \mid + \mid \bar{\mathcal{C}}\mid} \in (0,1]\tag{6} $$

其中$| \bar{\mathcal{C}}| $表示非子网络,当$p_D=1$时,Child Tuning就退化为了Fine Tuning。实际上Fisher信息的计算是相当耗时的,如果我们每次反向传播后都去计算一次所有参数的Fisher信息,然后找出最大的前几个是很麻烦的,因此作者提出在真正开始训练之前,我们先对所有样本进行一次完整(一个Epoch)的前向传播和反向传播,此时计算出Fisher信息最高的那些参数,以及此时确定的Child Network以后就不再变化了,就以这一次所选定的为准

下面给出计算Fisher信息的代码

def calculate_fisher():
    gradient_mask, p_F = {}, 0.2
    train_loader = torch.utils.data.DataLoader(train_dataset, batch_size, shuffle=True)
    N = len(train_dataloader) # N = |D|
    for name, params in model.named_parameters():
        if 'layer' in name:
            gradient_mask[params] = params.new_zeros(params.size())
    for batch in train_loader:
        outpus = model(**batch)
        loss = outpus['loss'] if isinstance(outpus, dict) else outputs[0]
        loss.backward()

        for name, params in model.named_parameters():
            if 'layer' in name:
                torch.nn.utils.clip_grad_norm(params, 1)
                gradient_mask[params] += (params.grad ** 2) / N
        model.zero_grad()
    
    r = None
    for k, v in gradient_mask.items():
        v = v.view(-1).cpu().numpy() # flatten
        if r is None:
            r = v
        else:
            r = np.append(r, v)
    
    # polar = np.percentile(a, q) # a中有q%的元素小于polar
    polar = np.percentile(r, (1-p_F)*100)
    for k in gradient_mask:
        gradient_mask[k] = gradient_mask[k] >= polar
    print('Polar => {}'.format(polar))

    return gradient_mask

Proof

如果这篇论文就讲了这些东西,很大概率是中不了EMNLP的,之所以被录用了,我个人觉得和这篇论文里大量的证明有关,作者证明了使用Child Tuning可以帮助模型逃离局部极小值点,接下来我尝试着把论文中的证明部分说清楚

首先我们假设$\mathbf{g}^{(i)}$是给定样本$\mathbf{x}^{(i)}$时参数$\mathbf{w}$的梯度,并且它服从正态分布$\mathbf{g}^{(i)}\sim N(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}}, \sigma^2_\mathbf{g}\mathbf{I}_k)$,定义$\mathbf{g}=\sum\limits_{i=1}^{|\mathcal{B}|}\frac{\mathbf{g}^{(i)}}{|\mathcal{B}|}$,则有

$$ \Delta \mathbf{w} =-\eta \sum\limits_{i=1}^{|\mathcal{B}|}\frac{\mathbf{g}^{(i)}}{|\mathcal{B}|}\odot M = -\eta \mathbf{g}\odot M\tag{7} $$

对于$\mathbf{g}$,我们有

$$ \mathbb{E}[\mathbf{g}]=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}}, \Sigma[\mathbf{g}]=\frac{\sigma^2_{\mathbf{g}}\mathbf{I}_k}{|\mathcal{B}|}\tag{8} $$

设$\hat{\mathbf{g}} = \frac{\mathbf{g}}{p}\odot M$,其中$p$是$p_D$或$p_F$(看你用的哪种算法),则

$$ \begin{aligned} \mathbb{E}[\hat{\mathbf{g}}] &= \mathbb{E}[\frac{1}{p}{\mathbf{g}}\odot M]\\ &= \frac{1}{p}\mathbb{E}[\mathbf{g}\odot M]\\ &=\frac{p}{p}\mathbb{E}[\mathbf{g}]\\ &= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}} \end{aligned}\tag{9} $$

上面的公式推导其实并不严格,例如分子的$p$是从哪来的就没法解释,分子的$p$只有可能是$\mathbb{E}[M]$的结果,可是$M$是个矩阵,矩阵的期望怎么就变成一个数了呢?但要强行解释也可以,因为将$M$中所有的1加起来除以$M$内的所有元素似乎也是等于$p$的

设$\hat{g_i}, g_i$分别是$\hat{\mathbf{g}}, \mathbf{g}$第$i$维度上的值,那么有$\hat{g_i} = \frac{g_i}{p}\odot M_i$

$$ \begin{aligned} \mathbf{D}[\hat{g_i}] &= \mathbb{E}[\hat{g_i}^2] - (\mathbb{E}[\hat{g_i}])^2\\ &=p\mathbb{E}[(\frac{g_i}{p})^2] - (\mathbb{E}[\hat{g_i}])^2\\ &=\frac{\mathbb{E}[g_i^2]}{p} - (\mathbb{E}[\hat{g_i}])^2\\ &=\frac{(\mathbb{E}[g_i])^2 + \mathbf{D}[g_i]}{p} - (\mathbb{E}[\hat{g_i}])^2\\ &=\frac{(\mathbb{E}[g_i])^2 + \mathbf{D}[g_i]}{p} - (\mathbb{E}[\frac{g_i}{p}\odot M_i])^2\\ &=\frac{(\mathbb{E}[g_i])^2 + \mathbf{D}[g_i]}{p} - (\mathbb{E}[{g_i}])^2\\ &=\frac{\mathbf{D}[g_i]}{p} + \frac{(1-p)(\mathbb{E}[\hat{g_i}])^2}{p} \end{aligned}\tag{10} $$

因此

$$ \begin{aligned} \Sigma[\hat{\mathbf{g}}] &= \frac{\Sigma[\mathbf{g}]}{p} + \frac{(1-p)\text{diag}\{\mathbb{E}[\mathbf{g}]\}^2}{p}\\ &=\frac{\sigma^2_{\mathbf{g}}\mathbf{I}_k}{p|\mathcal{B}|} + \frac{(1-p)\text{diag}\{\mathbb{E}[\mathbf{g}]\}^2}{p} \end{aligned}\tag{11} $$

最终我们就得到

$$ \begin{aligned} \mathbb{E}[\boldsymbol{\Delta} \mathbf{w}] &=-\eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}} \\ \Sigma[\boldsymbol{\Delta} \mathbf{w}] &=\frac{\eta^{2} \sigma_{\mathbf{g}}^{2} \mathbf{I}_{k}}{p|\mathcal{B}|}+\frac{(1-p) \eta^{2} \operatorname{diag}\left\{\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \mathbf{w}}\right\}^{2}}{p} \end{aligned}\tag{12} $$

特别地,当参数$\mathbf{w}$训练到局部极小值点时,$\frac{\partial{\mathcal{L}}}{\partial \mathbf{w}}=0$,此时$\mathbb{E}[\Delta \mathbf{w}]=0, \Sigma[\Delta \mathbf{w}] = \frac{\eta^{2} \sigma_{\mathbf{g}}^{2} \mathbf{I}_{k}}{p|\mathcal{B}|}$,我们注意到$\Sigma[\Delta \mathbf{w}]$是关于$p$的一个递减函数,$p$越大,$\Sigma[\Delta \mathbf{w}]$越小,极端情况是$p=1$,此时Child Tuning退化为Fine Tuning,并且$\Sigma[\Delta \mathbf{w}]$最小,相当于它的变化量每次都不大,因此就很难跳出局部极小值点;$p$越小,$\Sigma[\Delta \mathbf{w}]$越大,相当于它的变化量每次都很大,因此比较容易跳出局部极小值点

个人总结

这篇论文刚读的时候觉得很厉害,但了解之后就觉得这其实就是一个反向传播版的Dropout,实际的创新并没有特别大,包括其中提到的Fisher信息也并不是这篇论文提出来的。再就是论文中的实验确实很多,实验结果表明,相比于Fine Tuning大约可以提升1.5~8.6个点不等。最后要说一下这篇论文的公式证明部分,我个人觉得这篇论文的证明其实没有很严谨,例如为什么一个矩阵的期望就变成一个数了。总的来说这个方法可以作为打比赛时候的一个Trick来使用

Last Modified: November 11, 2021
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