欢迎关注公众号:DeepL Newer

MENU

向量范数与矩阵范数科普

May 14, 2021 • Read: 191 • 数学阅读设置

向量范数

  • 1-范数:$\Vert \boldsymbol{x}\Vert_1=\sum\limits_{i=1}^N |x_i|$,即向量元素绝对值之和
  • 2-范数:$\Vert \boldsymbol{x}\Vert_2=(\sum\limits_{i=1}^N (x_i)^2)^{\frac{1}{2}}$,也叫欧几里得范数,常用于计算向量长度,即向量元素的平方和再开方
  • $\infty$-范数:$\Vert \boldsymbol{x}\Vert_{\infty}=\max\limits_{i} |x_i|$,即所有向量元素中绝对值的最大值
  • $-\infty$-范数:$\Vert \boldsymbol{x}\Vert_{-\infty}=\min\limits_{i} |x_i|$,即所有向量元素绝对值中的最小值
  • P-范数:$\Vert \boldsymbol{x}\Vert_p=(\sum\limits_{i=1}^N (x_i)^p)^{\frac{1}{p}}$,即向量元素的p次方和再开p次方

矩阵范数

  • 1-范数:$\Vert A\Vert_1=\max\limits_{j}\sum\limits_{i=1}^m |a_{i,j}|$,列和范数,即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值
  • 2-范数:$\Vert A\Vert_2=\sqrt{\lambda_1}$,其中$\lambda_1$为$A^{H}A$的最大特征值,谱范数
  • $\infty$-范数:$\Vert A\Vert_{\infty}=\max\limits_{i}\sum\limits_{j=1}^n |a_{i,j}|$,行和范数,即所有矩阵向量值之和的最大值
  • F-范数:$\Vert A\Vert_F=(\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^n (a_{i,j})^2)^{\frac{1}{2}}$,Frobenius范数,即矩阵元素的平方和再开平方

Reference

Archives Tip
QR Code for this page
Tipping QR Code