在训练模型的时候，我们需要将损失函数一直训练到 0 吗？显然不用。一般来说，我们是用训练集来训练模型，但希望的是验证机的损失越小越好，而正常来说训练集的损失降到一定值后，验证集的损失就会开始上升，因此没必要把训练集的损失降低到 0
既然如此，在已经达到了某个阈值之后，我们可不可以做点别的事情来提升模型性能呢？ICML2020 的论文《Do We Need Zero Training Loss After Achieving Zero Training Error?》回答了这个问题，不过实际上它并没有很好的描述 "为什么"，而只是提出了 "怎么做"
思路描述
论文提供的解决方案非常简单，假设原来的损失函数是 $\mathcal {L}(\theta)$，现在改为 $\tilde {\mathcal {L}}(\theta)$：
$$ \tilde{\mathcal{L}}(\theta)=|\mathcal{L}(\theta)-b|+b\tag{1} $$
其中 $b$ 是预先设定的阈值。当 $\mathcal {L}(\theta)>b$ 时 $\tilde {\mathcal {L}}(\theta)=\mathcal {L}(\theta)$，这时就是执行普通的梯度下降；而 $\mathcal {L}(\theta)<b$ 时 $\tilde {\mathcal {L}}(\theta)=2b-\mathcal {L}(\theta)$，注意到损失函数变号了，所以这时候是梯度上升。因此，总的来说就是以 $b$ 为阈值，低于阈值时反而希望损失函数变大。论文把这个改动称为 "Flooding"
这样做有什么效果呢？论文显示，在某些任务中，训练集的损失函数经过这样处理后，验证集的损失能出现 "二次下降（Double Descent）"，如下图
简单来说，就是最终的验证集效果可能更好一些，原论文的实验结果如下：
个人分析
如何解释这个方法呢？可以想像，当损失函数达到 $b$ 之后，训练流程大概就是在交替执行梯度下降和梯度上升。直观想的话，感觉一步上升一步下降，似乎刚好抵消了。事实真的如此吗？我们来算一下看看。假设先下降一步后上升一步，学习率为 $\varepsilon$，那么：
$$ \begin{equation}\begin{aligned}&\theta_n = \theta_{n-1} - \varepsilon g(\theta_{n-1})\\ &\theta_{n+1} = \theta_n + \varepsilon g(\theta_n) \end{aligned}\tag{2}\end{equation} $$
其中 $g (\theta)=\nabla_{\theta}\mathcal {L}(\theta)$，现在我们有
$$ \begin{equation}\begin{aligned}\theta_{n+1} =&\, \theta_{n-1} - \varepsilon g(\theta_{n-1}) + \varepsilon g\big(\theta_{n-1} - \varepsilon g(\theta_{n-1})\big)\\ \approx&\,\theta_{n-1} - \varepsilon g(\theta_{n-1}) + \varepsilon \big(g(\theta_{n-1}) - \varepsilon \nabla_{\theta} g(\theta_{n-1}) g(\theta_{n-1})\big)\\ =&\,\theta_{n-1} - \frac{\varepsilon^2}{2}\nabla_{\theta}\Vert g(\theta_{n-1})\Vert^2 \end{aligned}\tag{3}\end{equation} $$
近似那一步实际上是使用了泰勒展开，我们将 $\theta_{n-1}$ 看作 $x$，$\varepsilon g (\theta_{n-1})$ 看作 $\Delta x$，由于
$$ \frac{g(x - \Delta x) - g(x)}{-\Delta x} = \nabla_x g(x) $$
所以
$$ g(x - \Delta x) = g(x) - \Delta x \nabla_x g(x) $$
最终的结果就是相当于学习率为 $\frac {\varepsilon^2}{2}$、损失函数为梯度惩罚 $\Vert g (\theta)\Vert^2 = \Vert \nabla_{\theta} \mathcal {L}(\theta)\Vert^2$ 的梯度下降。更妙的是，改为 "先上升再下降"，其表达式依然是一样的（这不禁让我想起 "先涨价 10% 再降价 10%" 和 "先降价 10% 再涨价 10% 的故事"）。因此，平均而言，Flooding 对损失函数的改动，相当于在保证了损失函数足够小之后去最小化 $\Vert \nabla_x \mathcal {L}(\theta)\Vert^2$，也就是推动参数往更平稳的区域走，这通常能提高泛化性（更好地抵抗扰动），因此一定程度上就能解释 Flooding 有作用的原因了
本质上来讲，这跟往参数里边加入随机扰动、对抗训练等也没什么差别，只不过这里是保证了损失足够小后再加扰动
继续脑洞
想要使用 Flooding 非常简单，只需要在原有代码基础上增加一行即可
- logits = model(x)
- loss = criterion(logits, y)
- loss = (loss - b).abs() + b # This is it!
- optimizer.zero_grad()
- loss.backward()
- optimizer.step()
有心是用这个方法的读者可能会纠结于 $b$ 的选择，原论文说 $b$ 的选择是一个暴力迭代的过程，需要多次尝试
The flood level is chosen from $b\in \{0, 0.01,0.02,...,0.50\}$
不过笔者倒是有另外一个脑洞：$b$ 无非就是决定什么时候开始交替训练罢了，那如果我们从一开始就用不同的学习率进行交替训练呢？也就是自始自终都执行
$$ \begin{equation}\begin{aligned}&\theta_n = \theta_{n-1} - \varepsilon_1 g(\theta_{n-1})\\ &\theta_{n+1} = \theta_n + \varepsilon_2 g(\theta_n) \end{aligned}\tag{4}\end{equation} $$
其中 $\varepsilon_1 > \varepsilon_2$，这样我们就把 $b$ 去掉了（引入了 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 的选择，天下没有免费的午餐）。重复上述近似展开，我们就得到
$$ \begin{equation}\begin{aligned} \theta_{n+1} =& \, \theta_{n-1} - \varepsilon_1g(\theta_{n-1})+\varepsilon_2g(\theta_{n-1} - \varepsilon_1g(\theta_{n-1}))\\ \approx&\, \theta_{n-1} - \varepsilon_1g(\theta_{n-1}) + \varepsilon_2(g(\theta_{n-1}) - \varepsilon_1\nabla_\theta g(\theta_{n-1})g(\theta_{n-1}))\\ =&\, \theta_{n-1} - (\varepsilon_1 - \varepsilon_2) g(\theta_{n-1}) - \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{2}\nabla_{\theta}\Vert g(\theta_{n-1})\Vert^2\\ =&\,\theta_{n-1} - (\varepsilon_1 - \varepsilon_2)\nabla_{\theta}\left[\mathcal{L}(\theta_{n-1}) + \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{2(\varepsilon_1 - \varepsilon_2)}\Vert \nabla_{\theta}\mathcal{L}(\theta_{n-1})\Vert^2\right] \end{aligned}\tag{5}\end{equation} $$
这就相当于自始自终都在用学习率 $\varepsilon_1-\varepsilon_2$ 来优化损失函数 $\mathcal {L}(\theta) + \frac {\varepsilon_1\varepsilon_2}{2 (\varepsilon_1 - \varepsilon_2)}\Vert\nabla_{\theta}\mathcal {L}(\theta)\Vert^2$ 了，也就是说一开始就把梯度惩罚给加了进去，这样能提升模型的泛化性能吗？《Backstitch: Counteracting Finite-sample Bias via Negative Steps》里边指出这种做法在语音识别上是有效的，请读者自行测试甄别
效果检验
我随便在网上找了个竞赛，然后利用别人提供的以 BERT 为 baseline 的代码，对 Flooding 的效果进行了测试，下图分别是没有做 Flooding 和参数 $b=0.7$ 的 Flooding 损失值变化图，值得一提的是，没有做 Flooding 的验证集最低损失值为 0.814198，而做了 Flooding 的验证集最低损失值为 0.809810
根据知乎文章一行代码发一篇 ICML？底下用户 Curry 评论所言："通常来说 $b$ 值需要设置成比 'Validation Error 开始上升 ' 的值更小，1/2 处甚至更小，结果更优"，所以我仔细观察了下没有加 Flooding 模型损失值变化图，大概在 loss 为 0.75 到 1.0 左右的时候开始出现过拟合现象，因此我又分别设置了 $b=0.4$ 和 $b=0.5$，做了两次 Flooding 实验，结果如下图
值得一提的是，$b=0.4$ 和 $b=0.5$ 时，验证集上的损失值最低仅为 0.809958 和 0.796819，而且很明显验证集损失的整体上升趋势更加缓慢。接下来我做了一个实验，主要是验证 "继续脑洞" 部分以不同的学习率一开始就交替着做梯度下降和梯度上升的效果，其中，梯度下降的学习率我设为 $1e-5$，梯度上升的学习率为 $1e-6$，结果如下图，验证集的损失最低仅有 0.783370
