在训练模型的时候，我们需要将损失函数一直训练到0吗？显然不用。一般来说，我们是用训练集来训练模型，但希望的是验证机的损失越小越好，而正常来说训练集的损失降到一定值后，验证集的损失就会开始上升，因此没必要把训练集的损失降低到0
既然如此，在已经达到了某个阈值之后，我们可不可以做点别的事情来提升模型性能呢？ICML2020的论文《Do We Need Zero Training Loss After Achieving Zero Training Error?》回答了这个问题，不过实际上它并没有很好的描述"为什么"，而只是提出了"怎么做"
思路描述
论文提供的解决方案非常简单，假设原来的损失函数是$\mathcal{L}(\theta)$，现在改为$\tilde{\mathcal{L}}(\theta)$：
$$ \tilde{\mathcal{L}}(\theta)=|\mathcal{L}(\theta)-b|+b\tag{1} $$
其中$b$是预先设定的阈值。当$\mathcal{L}(\theta)>b$时$\tilde{\mathcal{L}}(\theta)=\mathcal{L}(\theta)$，这时就是执行普通的梯度下降；而$\mathcal{L}(\theta)<b$时$\tilde{\mathcal{L}}(\theta)=2b-\mathcal{L}(\theta)$，注意到损失函数变号了，所以这时候是梯度上升。因此，总的来说就是以$b$为阈值，低于阈值时反而希望损失函数变大。论文把这个改动称为"Flooding"
这样做有什么效果呢？论文显示，在某些任务中，训练集的损失函数经过这样处理后，验证集的损失能出现"二次下降（Double Descent）"，如下图
简单来说，就是最终的验证集效果可能更好一些，原论文的实验结果如下：
个人分析
如何解释这个方法呢？可以想像，当损失函数达到$b$之后，训练流程大概就是在交替执行梯度下降和梯度上升。直观想的话，感觉一步上升一步下降，似乎刚好抵消了。事实真的如此吗？我们来算一下看看。假设先下降一步后上升一步，学习率为$\varepsilon$，那么：
$$ \begin{equation}\begin{aligned}&\theta_n = \theta_{n-1} - \varepsilon g(\theta_{n-1})\\ &\theta_{n+1} = \theta_n + \varepsilon g(\theta_n) \end{aligned}\tag{2}\end{equation} $$
其中$g(\theta)=\nabla_{\theta}\mathcal{L}(\theta)$，现在我们有
$$ \begin{equation}\begin{aligned}\theta_{n+1} =&\, \theta_{n-1} - \varepsilon g(\theta_{n-1}) + \varepsilon g\big(\theta_{n-1} - \varepsilon g(\theta_{n-1})\big)\\ \approx&\,\theta_{n-1} - \varepsilon g(\theta_{n-1}) + \varepsilon \big(g(\theta_{n-1}) - \varepsilon \nabla_{\theta} g(\theta_{n-1}) g(\theta_{n-1})\big)\\ =&\,\theta_{n-1} - \frac{\varepsilon^2}{2}\nabla_{\theta}\Vert g(\theta_{n-1})\Vert^2 \end{aligned}\tag{3}\end{equation} $$
近似那一步实际上是使用了泰勒展开，我们将$\theta_{n-1}$看作$x$，$\varepsilon g(\theta_{n-1})$看作$\Delta x$，由于
$$ \frac{g(x - \Delta x) - g(x)}{-\Delta x} = \nabla_x g(x) $$
所以
$$ g(x - \Delta x) = g(x) - \Delta x \nabla_x g(x) $$
最终的结果就是相当于学习率为$\frac{\varepsilon^2}{2}$、损失函数为梯度惩罚$\Vert g(\theta)\Vert^2 = \Vert \nabla_{\theta} \mathcal{L}(\theta)\Vert^2$的梯度下降。更妙的是，改为"先上升再下降"，其表达式依然是一样的（这不禁让我想起"先涨价10%再降价10%"和"先降价10%再涨价10%的故事"）。因此，平均而言，Flooding对损失函数的改动，相当于在保证了损失函数足够小之后去最小化$\Vert \nabla_x \mathcal{L}(\theta)\Vert^2$，也就是推动参数往更平稳的区域走，这通常能提高泛化性（更好地抵抗扰动），因此一定程度上就能解释Flooding有作用的原因了
本质上来讲，这跟往参数里边加入随机扰动、对抗训练等也没什么差别，只不过这里是保证了损失足够小后再加扰动
继续脑洞
想要使用Flooding非常简单，只需要在原有代码基础上增加一行即可
logits = model(x)
loss = criterion(logits, y)
loss = (loss - b).abs() + b # This is it!
optimizer.zero_grad()
loss.backward()
optimizer.step()有心是用这个方法的读者可能会纠结于$b$的选择，原论文说$b$的选择是一个暴力迭代的过程，需要多次尝试
The flood level is chosen from $b\in \{0, 0.01,0.02,...,0.50\}$
不过笔者倒是有另外一个脑洞：$b$无非就是决定什么时候开始交替训练罢了，那如果我们从一开始就用不同的学习率进行交替训练呢？也就是自始自终都执行
$$ \begin{equation}\begin{aligned}&\theta_n = \theta_{n-1} - \varepsilon_1 g(\theta_{n-1})\\ &\theta_{n+1} = \theta_n + \varepsilon_2 g(\theta_n) \end{aligned}\tag{4}\end{equation} $$
其中$\varepsilon_1 > \varepsilon_2$，这样我们就把$b$去掉了（引入了$\varepsilon_1, \varepsilon_2$的选择，天下没有免费的午餐）。重复上述近似展开，我们就得到
$$ \begin{equation}\begin{aligned} \theta_{n+1} =& \, \theta_{n-1} - \varepsilon_1g(\theta_{n-1})+\varepsilon_2g(\theta_{n-1} - \varepsilon_1g(\theta_{n-1}))\\ \approx&\, \theta_{n-1} - \varepsilon_1g(\theta_{n-1}) + \varepsilon_2(g(\theta_{n-1}) - \varepsilon_1\nabla_\theta g(\theta_{n-1})g(\theta_{n-1}))\\ =&\, \theta_{n-1} - (\varepsilon_1 - \varepsilon_2) g(\theta_{n-1}) - \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{2}\nabla_{\theta}\Vert g(\theta_{n-1})\Vert^2\\ =&\,\theta_{n-1} - (\varepsilon_1 - \varepsilon_2)\nabla_{\theta}\left[\mathcal{L}(\theta_{n-1}) + \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{2(\varepsilon_1 - \varepsilon_2)}\Vert \nabla_{\theta}\mathcal{L}(\theta_{n-1})\Vert^2\right] \end{aligned}\tag{5}\end{equation} $$
这就相当于自始自终都在用学习率$\varepsilon_1-\varepsilon_2$来优化损失函数$\mathcal{L}(\theta) + \frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}{2(\varepsilon_1 - \varepsilon_2)}\Vert\nabla_{\theta}\mathcal{L}(\theta)\Vert^2$了，也就是说一开始就把梯度惩罚给加了进去，这样能提升模型的泛化性能吗？《Backstitch: Counteracting Finite-sample Bias via Negative Steps》里边指出这种做法在语音识别上是有效的，请读者自行测试甄别
效果检验
我随便在网上找了个竞赛，然后利用别人提供的以BERT为baseline的代码，对Flooding的效果进行了测试，下图分别是没有做Flooding和参数$b=0.7$的Flooding损失值变化图，值得一提的是，没有做Flooding的验证集最低损失值为0.814198，而做了Flooding的验证集最低损失值为0.809810
根据知乎文章一行代码发一篇ICML？底下用户Curry评论所言："通常来说$b$值需要设置成比'Validation Error开始上升'的值更小，1/2处甚至更小，结果更优"，所以我仔细观察了下没有加Flooding模型损失值变化图，大概在loss为0.75到1.0左右的时候开始出现过拟合现象，因此我又分别设置了$b=0.4$和$b=0.5$，做了两次Flooding实验，结果如下图
值得一提的是，$b=0.4$和$b=0.5$时，验证集上的损失值最低仅为0.809958和0.796819，而且很明显验证集损失的整体上升趋势更加缓慢。接下来我做了一个实验，主要是验证"继续脑洞"部分以不同的学习率一开始就交替着做梯度下降和梯度上升的效果，其中，梯度下降的学习率我设为$1e-5$，梯度上升的学习率为$1e-6$，结果如下图，验证集的损失最低仅有0.783370
