Schur引理
定义：设 $A, B \in \mathbb{C}^{n \times n}\left(\right. 或 \left.\mathbb{R}^{n \times n}\right)$，若存在$U \in U^{n \times n}\left(\right. 或 \left.E^{n \times n}\right)$，使得
$$ {U}^{\mathrm{H}} {A} {U}={U}^{-1} {A} {U}={B}\left(\text {或 } {U}^{\mathrm{T}} {A} {U}={U}^{-1} {A} {U}={B}\right) $$
则说$A$酉相似（或正交相似）于$B$
（Schur引理）任何一个$n$阶复矩阵$A$酉相似于一个上（下）三角矩阵
例1
已知$A = \begin{bmatrix}0&3&3\\-1&8&6\\2&-14&-10\end{bmatrix}$，求酉矩阵$U$，使得$U^HAU$是一个上三角矩阵
解：$|\lambda E-A|=\lambda(\lambda+1)^2$，当$\lambda=0$时，$A$有单位特征向量
$$ \eta_1 = (\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}})^T $$
解与$\eta_1$内积为零的方程$2x_1+x_2-x_3=0$，求得一个单位解向量
$$ \eta_2=[0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}]^T $$
解与$\eta_1,\eta_2$内积为零的方程
$$ \begin{cases} 2x_2+x_2-x_3=0\\ x_2+x_3=0 \end{cases} $$
又求得其一个单位解向量
$$ \eta_3 = [-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}]^T $$
于是取
$$ U_1=\begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt{6}}&0&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\-\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\end{bmatrix} $$
经计算得
$$ U_1^HAU_1=\begin{bmatrix}0 & \frac{50}{\sqrt{12}} & \frac{9}{\sqrt{18}} \\ 0 & -5 & -\frac{3}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{32}{\sqrt{6}} & 3\end{bmatrix}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & \frac{50}{\sqrt{12}} & \frac{9}{\sqrt{18}} \\ 0 & \\ & & A_{1} \\ 0 & & \end{array}\right] $$
其中
$$ A_1=\begin{bmatrix}-5 & -\frac{3}{\sqrt{6}} \\ \frac{32}{\sqrt{6}} & 3\end{bmatrix} $$
可得$|\lambda E - A_1|=(\lambda +1)^2$，对于$\lambda =-1$时，求得一个单位特征向量$\gamma_1=[-\frac{3}{\sqrt{105}}, \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{105}}]^T$
再求得一个与$\gamma_1$正交的向量$\gamma_2=[\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{105}}, \frac{3}{\sqrt{105}}]^T$，令
$$ V_1 = \begin{bmatrix}-\frac{3}{\sqrt{105}} &\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{105}}\\ \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{105}}&\frac{3}{\sqrt{105}}\end{bmatrix} $$
经计算可得
$$ V_1^HA_1V_1=\begin{bmatrix}-1&-\frac{1225\sqrt{6}}{35\sqrt{6}}\\0&-1\end{bmatrix} $$
令
$$ U_2=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-\frac{3}{\sqrt{105}} &\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{105}}\\ 0&\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{105}}&\frac{3}{\sqrt{105}}\end{bmatrix} $$
记
$$ U = U_1U_2=\begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{105}} & \frac{1}{\sqrt{35}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{5}{\sqrt{210}} & \frac{5}{\sqrt{35}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{11}{\sqrt{210}} & \frac{3}{\sqrt{35}} \end{bmatrix} $$
则$U^HAU=\begin{bmatrix}0 & \frac{50}{\sqrt{12}} & \frac{9}{\sqrt{18}} \\0 & -1 & \frac{1225}{35 \sqrt{6}} \\0 & 0 & -1\end{bmatrix}$
正规矩阵
定理：$\exists U\in U^{n\times n}$，使得$U^{-1}AU$为对角矩阵的充分必要条件为$A^HA=AA^H$
定义：如果矩阵$A$满足$A^HA=AA^H$，则称其为正规矩阵
Hermite矩阵
定义：$A\in \mathbb{C}^{n\times n}$，若$A^H=A$，则称$A$为Hermite矩阵
定理：Hermite矩阵是正规矩阵，Hermite矩阵的特征值是实数
Rayleigh商
定理：设$A\in \mathbb{C}^{n\times n}$是Hermite矩阵，则$\forall x\in \mathbb{C}^n$，$x^HAx$为实数
定义：$A\in \mathbb{C}^{n\times n}$是Hermite矩阵，$\forall x\in \mathbb{C}^n$，$x \neq 0$，则
$$ R(x)=\frac{x^HAx}{x^Hx} $$
为实数，称$R(x)$为矩阵$A$的Rayleigh商
定理：由于Hermite矩阵的特征值全部为实数，不妨排列成
$$ \lambda_1 ≥ \lambda_2 ≥ ···≥ \lambda_n $$
则
- $\lambda_n ≤ R(x) ≤ \lambda_1$
- $\lambda_1 = \mathop{\max}\limits_{x\neq 0} R(x), \lambda_n = \mathop{\min}\limits_{x\neq 0} R(x)$
注：本节内容实际上都是一些定义或定理，看上去并不多，然而实际上如果仔细证明每一条定理，会有相当多的内容，不过这里我觉得没有必要写上证明，读者有需要自行谷歌搜索或者翻书即可
例2
已知$A=\begin{bmatrix}3&0&8\\3&-1&6\\-2&0&-5\end{bmatrix}$，试求酉矩阵$U$，使得$U^HAU$是一个上三角矩阵
解：首先求出其特征多项式$|\lambda E-A|=(\lambda +1)^3$，当$\lambda=-1$时，求出属于特征值-1的一个单位特征向量为
$$ \eta_1 = [-\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}] $$
解与$\eta_1$内积为零的方程$-2x_1+x_2+x_3=0$，求得一个单位解向量
$$ \eta_2=[\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]^T $$
解与$\eta_1,\eta_2$内积为零的方程
$$ \begin{cases} -2x_2+x_2+x_3=0\\ x_1+x_2+x_3=0 \end{cases} $$
又求得其一个单位解向量
$$ \eta_3 = [0, -\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}]^T $$
于是取
$$ U_1=\begin{bmatrix}-\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{\sqrt{3}}{3}&0\\\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{\sqrt{3}}{3}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{\sqrt{3}}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix} $$
经计算得
$$ U_1^HAU_1=\begin{bmatrix}-1 & -\frac{7 \sqrt{2}}{2} & -\frac{7 \sqrt{3}}{3} \\ 0 & 4 & \frac{5 \sqrt{6}}{3} \\ 0 & -\frac{5 \sqrt{6}}{2} & -6\end{bmatrix} $$
记
$$ A_1=\begin{bmatrix}4 & \frac{5 \sqrt{6}}{3} \\ -\frac{5 \sqrt{6}}{2} & -6\end{bmatrix} $$
可得$|\lambda E - A_1|=(\lambda +1)^2$，对于$\lambda =-1$时，求得一个单位特征向量$\gamma_1=[-\frac{\sqrt{10}}{5}, \frac{\sqrt{15}}{5}]^T$
再求得一个与$\gamma_1$正交的向量$\gamma_2=[\frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{\sqrt{10}}{5}]^T$，令
$$ V_1 = \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{10}}{5} &\frac{\sqrt{15}}{5}\\ \frac{\sqrt{15}}{5}&\frac{\sqrt{10}}{5}\end{bmatrix} $$
经计算可得
$$ V_1^HA_1V_1=\begin{bmatrix}-1&-\frac{25\sqrt{6}}{6}\\0&-1\end{bmatrix} $$
令
$$ U_2=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-\frac{\sqrt{10}}{5} &\frac{\sqrt{15}}{5}\\0&\frac{\sqrt{15}}{5}&\frac{\sqrt{10}}{5}\end{bmatrix} $$
记
$$ U = U_1U_2=\begin{bmatrix}-\frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{\sqrt{30}}{15} & \frac{\sqrt{5}}{5} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{\sqrt{30}}{6} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{\sqrt{30}}{30} & \frac{2 \sqrt{5}}{5}\end{bmatrix} $$
则$U^HAU=\begin{bmatrix}-1 & \frac{\sqrt{30}}{15} & -\frac{7 \sqrt{15}}{20} \\ 0 & -1 & -\frac{25 \sqrt{6}}{6} \\ 0 & 0 & -1\end{bmatrix}$
例3
验证矩阵$A=\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}\\-\frac{1}{3\sqrt{2}}&\frac{1}{6}&-\frac{1}{2\sqrt{3}}\\-\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{2\sqrt{3}}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}$是正规矩阵，并求酉矩阵$U$，使得$U^HAU$为对角矩阵
解：$A^H=\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{6}}\\-\frac{1}{3\sqrt{2}}&\frac{1}{6}&-\frac{1}{2\sqrt{3}}\\-\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{1}{2\sqrt{3}}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}$，因为$AA^H=A^HA$，所以$A$是正规矩阵。求得其特征值为
$$ \lambda_1=\lambda_2=0,\lambda_3=1 $$
对于特征值$\lambda_1=\lambda_2=0$，求得两个线性无关的特征向量
$$ X_1= [\frac{\sqrt{2}}{2}, 1, 0]^T, X_2=[\frac{\sqrt{6}}{2}\mathrm{i}, 0, 1]^T $$
对于特征值$\lambda_3=1$，求得一个线性无关的特征向量$X_3 = [-\frac{\sqrt{6}}{3}\mathrm{i}, \frac{\sqrt{3}}{3}\mathrm{i}, 1]^T$，将$X_1,X_2$正交化与单位化得
$$ \alpha_1 = [\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}, 0]^T\\ \alpha_2 = [\frac{\sqrt{3}}{3}\mathrm{i}, -\frac{\sqrt{6}}{6}\mathrm{i}, \frac{\sqrt{2}}{2}]^T $$
将$X_3$单位化得$\alpha_3 = [-\frac{\sqrt{3}}{3}i, \frac{\sqrt{6}}{6}i, \frac{\sqrt{2}}{2}]^T$，于是取
$$ U = \begin{bmatrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i} & -\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} & -\frac{\sqrt{6}}{6} \mathrm{i} & \frac{\sqrt{6}}{6} \mathrm{i} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix} $$
而且有
$$ U^HAU = \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix} $$
例4
已知$A=\begin{bmatrix}2&-2&0\\-2&1&-2\\0&-2&0\end{bmatrix}$，求正交矩阵$Q$，使$Q^TAQ$为对角矩阵
解：计算$A$的特征值与（单位化）特征向量得
$$ \lambda_1 = -2, \alpha_1 = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}]^T\\ \lambda_2 = 4, \alpha_2 = [\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}]^T\\ \lambda_3 = 1, \alpha_3 = [\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}]^T $$
于是取
$$ Q = \begin{bmatrix}\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}\end{bmatrix} $$
那么有
$$ Q^TAQ = \begin{bmatrix}-2&0&0\\0&4&0\\0&0&1\end{bmatrix} $$
