Schur 引理
定义：设 $A, B \in \mathbb {C}^{n \times n}\left (\right. 或 \left.\mathbb {R}^{n \times n}\right)$，若存在 $U \in U^{n \times n}\left (\right. 或 \left.E^{n \times n}\right)$，使得
$$ {U}^{\mathrm {H}} {A} {U}={U}^{-1} {A} {U}={B}\left (\text {或 } {U}^{\mathrm {T}} {A} {U}={U}^{-1} {A} {U}={B}\right) $$
则说 $A$ 酉相似（或正交相似）于 $B$
（Schur 引理）任何一个 $n$ 阶复矩阵 $A$ 酉相似于一个上（下）三角矩阵
例 1
已知 $A = \begin {bmatrix} 0&3&3\\-1&8&6\\2&-14&-10\end {bmatrix}$，求酉矩阵 $U$，使得 $U^HAU$ 是一个上三角矩阵
解：$|\lambda E-A|=\lambda (\lambda+1)^2$，当 $\lambda=0$ 时，$A$ 有单位特征向量
$$ \eta_1 = (\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}})^T $$
解与 $\eta_1$ 内积为零的方程 $2x_1+x_2-x_3=0$，求得一个单位解向量
$$ \eta_2=[0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}]^T $$
解与 $\eta_1,\eta_2$ 内积为零的方程
$$ \begin{cases} 2x_2+x_2-x_3=0\\ x_2+x_3=0 \end{cases} $$
又求得其一个单位解向量
$$ \eta_3 = [-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}]^T $$
于是取
$$ U_1=\begin{bmatrix}\frac{2}{\sqrt{6}}&0&-\frac{1}{\sqrt{3}}\\\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\-\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{3}}\end{bmatrix} $$
经计算得
$$ U_1^HAU_1=\begin{bmatrix}0 & \frac{50}{\sqrt{12}} & \frac{9}{\sqrt{18}} \\ 0 & -5 & -\frac{3}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{32}{\sqrt{6}} & 3\end{bmatrix}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & \frac{50}{\sqrt{12}} & \frac{9}{\sqrt{18}} \\ 0 & \\ & & A_{1} \\ 0 & & \end{array}\right] $$
其中
$$ A_1=\begin{bmatrix}-5 & -\frac{3}{\sqrt{6}} \\ \frac{32}{\sqrt{6}} & 3\end{bmatrix} $$
可得 $|\lambda E - A_1|=(\lambda +1)^2$，对于 $\lambda =-1$ 时，求得一个单位特征向量 $\gamma_1=[-\frac {3}{\sqrt {105}}, \frac {4\sqrt {6}}{\sqrt {105}}]^T$
再求得一个与 $\gamma_1$ 正交的向量 $\gamma_2=[\frac {4\sqrt {6}}{\sqrt {105}}, \frac {3}{\sqrt {105}}]^T$，令
$$ V_1 = \begin{bmatrix}-\frac{3}{\sqrt{105}} &\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{105}}\\ \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{105}}&\frac{3}{\sqrt{105}}\end{bmatrix} $$
经计算可得
$$ V_1^HA_1V_1=\begin{bmatrix}-1&-\frac{1225\sqrt{6}}{35\sqrt{6}}\\0&-1\end{bmatrix} $$
令
$$ U_2=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-\frac{3}{\sqrt{105}} &\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{105}}\\ 0&\frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{105}}&\frac{3}{\sqrt{105}}\end{bmatrix} $$
记
$$ U = U_1U_2=\begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{105}} & \frac{1}{\sqrt{35}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{5}{\sqrt{210}} & \frac{5}{\sqrt{35}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{11}{\sqrt{210}} & \frac{3}{\sqrt{35}} \end{bmatrix} $$
则 $U^HAU=\begin {bmatrix} 0 & \frac {50}{\sqrt {12}} & \frac {9}{\sqrt {18}} \\0 & -1 & \frac {1225}{35 \sqrt {6}} \\0 & 0 & -1\end {bmatrix}$
正规矩阵
定理：$\exists U\in U^{n\times n}$，使得 $U^{-1} AU$ 为对角矩阵的充分必要条件为 $A^HA=AA^H$
定义：如果矩阵 $A$ 满足 $A^HA=AA^H$，则称其为正规矩阵
Hermite 矩阵
定义：$A\in \mathbb {C}^{n\times n}$，若 $A^H=A$，则称 $A$ 为 Hermite 矩阵
定理：Hermite 矩阵是正规矩阵，Hermite 矩阵的特征值是实数
Rayleigh 商
定理：设 $A\in \mathbb {C}^{n\times n}$ 是 Hermite 矩阵，则 $\forall x\in \mathbb {C}^n$，$x^HAx$ 为实数
定义：$A\in \mathbb {C}^{n\times n}$ 是 Hermite 矩阵，$\forall x\in \mathbb {C}^n$，$x \neq 0$，则
$$ R(x)=\frac{x^HAx}{x^Hx} $$
为实数，称 $R (x)$ 为矩阵 $A$ 的 Rayleigh 商
定理：由于 Hermite 矩阵的特征值全部为实数，不妨排列成
$$ \lambda_1 ≥ \lambda_2 ≥ ···≥ \lambda_n $$
则
- $\lambda_n ≤ R(x) ≤ \lambda_1$
- $\lambda_1 = \mathop{\max}\limits_{x\neq 0} R(x), \lambda_n = \mathop{\min}\limits_{x\neq 0} R(x)$
注：本节内容实际上都是一些定义或定理，看上去并不多，然而实际上如果仔细证明每一条定理，会有相当多的内容，不过这里我觉得没有必要写上证明，读者有需要自行谷歌搜索或者翻书即可
例 2
已知 $A=\begin {bmatrix} 3&0&8\\3&-1&6\\-2&0&-5\end {bmatrix}$，试求酉矩阵 $U$，使得 $U^HAU$ 是一个上三角矩阵
解：首先求出其特征多项式 $|\lambda E-A|=(\lambda +1)^3$，当 $\lambda=-1$ 时，求出属于特征值 - 1 的一个单位特征向量为
$$ \eta_1 = [-\frac{2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}] $$
解与 $\eta_1$ 内积为零的方程 $-2x_1+x_2+x_3=0$，求得一个单位解向量
$$ \eta_2=[\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]^T $$
解与 $\eta_1,\eta_2$ 内积为零的方程
$$ \begin{cases} -2x_2+x_2+x_3=0\\ x_1+x_2+x_3=0 \end{cases} $$
又求得其一个单位解向量
$$ \eta_3 = [0, -\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}]^T $$
于是取
$$ U_1=\begin{bmatrix}-\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{\sqrt{3}}{3}&0\\\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{\sqrt{3}}{3}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{\sqrt{3}}{3}&\frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix} $$
经计算得
$$ U_1^HAU_1=\begin{bmatrix}-1 & -\frac{7 \sqrt{2}}{2} & -\frac{7 \sqrt{3}}{3} \\ 0 & 4 & \frac{5 \sqrt{6}}{3} \\ 0 & -\frac{5 \sqrt{6}}{2} & -6\end{bmatrix} $$
记
$$ A_1=\begin{bmatrix}4 & \frac{5 \sqrt{6}}{3} \\ -\frac{5 \sqrt{6}}{2} & -6\end{bmatrix} $$
可得 $|\lambda E - A_1|=(\lambda +1)^2$，对于 $\lambda =-1$ 时，求得一个单位特征向量 $\gamma_1=[-\frac {\sqrt {10}}{5}, \frac {\sqrt {15}}{5}]^T$
再求得一个与 $\gamma_1$ 正交的向量 $\gamma_2=[\frac {\sqrt {15}}{5}, \frac {\sqrt {10}}{5}]^T$，令
$$ V_1 = \begin{bmatrix}-\frac{\sqrt{10}}{5} &\frac{\sqrt{15}}{5}\\ \frac{\sqrt{15}}{5}&\frac{\sqrt{10}}{5}\end{bmatrix} $$
经计算可得
$$ V_1^HA_1V_1=\begin{bmatrix}-1&-\frac{25\sqrt{6}}{6}\\0&-1\end{bmatrix} $$
令
$$ U_2=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-\frac{\sqrt{10}}{5} &\frac{\sqrt{15}}{5}\\0&\frac{\sqrt{15}}{5}&\frac{\sqrt{10}}{5}\end{bmatrix} $$
记
$$ U = U_1U_2=\begin{bmatrix}-\frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{\sqrt{30}}{15} & \frac{\sqrt{5}}{5} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{\sqrt{30}}{6} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{\sqrt{30}}{30} & \frac{2 \sqrt{5}}{5}\end{bmatrix} $$
则 $U^HAU=\begin {bmatrix}-1 & \frac {\sqrt {30}}{15} & -\frac {7 \sqrt {15}}{20} \\ 0 & -1 & -\frac {25 \sqrt {6}}{6} \\ 0 & 0 & -1\end {bmatrix}$
例 3
验证矩阵 $A=\begin {bmatrix}\frac {1}{3}&-\frac {1}{3\sqrt {2}}&-\frac {1}{\sqrt {6}}\\-\frac {1}{3\sqrt {2}}&\frac {1}{6}&-\frac {1}{2\sqrt {3}}\\-\frac {1}{\sqrt {6}}&-\frac {1}{2\sqrt {3}}&\frac {1}{2}\end {bmatrix}$ 是正规矩阵，并求酉矩阵 $U$，使得 $U^HAU$ 为对角矩阵
解：$A^H=\begin {bmatrix}\frac {1}{3}&-\frac {1}{3\sqrt {2}}&-\frac {1}{\sqrt {6}}\\-\frac {1}{3\sqrt {2}}&\frac {1}{6}&-\frac {1}{2\sqrt {3}}\\-\frac {1}{\sqrt {6}}&-\frac {1}{2\sqrt {3}}&\frac {1}{2}\end {bmatrix}$，因为 $AA^H=A^HA$，所以 $A$ 是正规矩阵。求得其特征值为
$$ \lambda_1=\lambda_2=0,\lambda_3=1 $$
对于特征值 $\lambda_1=\lambda_2=0$，求得两个线性无关的特征向量
$$ X_1= [\frac{\sqrt{2}}{2}, 1, 0]^T, X_2=[\frac{\sqrt{6}}{2}\mathrm{i}, 0, 1]^T $$
对于特征值 $\lambda_3=1$，求得一个线性无关的特征向量 $X_3 = [-\frac {\sqrt {6}}{3}\mathrm {i}, \frac {\sqrt {3}}{3}\mathrm {i}, 1]^T$，将 $X_1,X_2$ 正交化与单位化得
$$ \alpha_1 = [\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}, 0]^T\\ \alpha_2 = [\frac{\sqrt{3}}{3}\mathrm{i}, -\frac{\sqrt{6}}{6}\mathrm{i}, \frac{\sqrt{2}}{2}]^T $$
将 $X_3$ 单位化得 $\alpha_3 = [-\frac {\sqrt {3}}{3} i, \frac {\sqrt {6}}{6} i, \frac {\sqrt {2}}{2}]^T$，于是取
$$ U = \begin{bmatrix}\frac{\sqrt{3}}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i} & -\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{i} \\ \frac{\sqrt{6}}{3} & -\frac{\sqrt{6}}{6} \mathrm{i} & \frac{\sqrt{6}}{6} \mathrm{i} \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix} $$
而且有
$$ U^HAU = \begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{bmatrix} $$
例 4
已知 $A=\begin {bmatrix} 2&-2&0\\-2&1&-2\\0&-2&0\end {bmatrix}$，求正交矩阵 $Q$，使 $Q^TAQ$ 为对角矩阵
解：计算 $A$ 的特征值与（单位化）特征向量得
$$ \lambda_1 = -2, \alpha_1 = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}]^T\\ \lambda_2 = 4, \alpha_2 = [\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}]^T\\ \lambda_3 = 1, \alpha_3 = [\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}]^T $$
于是取
$$ Q = \begin{bmatrix}\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3}\end{bmatrix} $$
那么有
$$ Q^TAQ = \begin{bmatrix}-2&0&0\\0&4&0\\0&0&1\end{bmatrix} $$
