矩阵分析（十一）酉矩阵、正交矩阵

酉矩阵

若 $n$ 阶复矩阵 $A$ 满足

$$ A^HA=AA^H=E $$

则称 $A$ 是酉矩阵，记为 $A\in U^{n\times n}$

设 $A\in C^{n\times n}$，则 $A$ 是酉矩阵的充要条件是 $A$ 的 $n$ 个列（或行）向量是标准正交向量组

酉矩阵的性质

1. $A^{-1}=A^H\in U^{n \times n}$
2. $\mid \det A\mid=1$
3. $A^T\in U^{n\times n}$
4. $AB, BA\in U^{n\times n}$，其中 $B\in U^{n\times n}$
5. 酉矩阵的特征值的模为 1
6. 标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵

酉变换

设 $V$ 是 $n$ 维酉空间，$\mathscr {A}$ 是 $V$ 的线性变换，若 $\forall \alpha, \beta \in V$ 都有

$$ (\mathscr{A}(\alpha), \mathscr{A}(\beta))=(\alpha,\beta) $$

正交矩阵

若 $n$ 阶实矩阵 $A$ 满足

$$ A^TA=A^HA=E $$

则称 $A$ 是正交矩阵，记为 $A\in E^{n\times n}$

设 $A\in R^{n\times n}$，则 $A$ 是正交矩阵的充要条件是 $A$ 的 $n$ 个列（或行）向量是标准正交向量组

正交矩阵的性质

1. $A^{-1}=A^T\in E^{n\times n}$
2. $\det A=±1$
3. $AB,BA\in E^{n\times n}$

正交变换

设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，若线性变换 $\mathscr {B}$ 满足 $\forall \alpha,\beta\in V$ 都有

$$ (\mathscr{B}(\alpha), \mathscr{B}(\beta))=(\alpha, \beta) $$

设 $\mathscr {A}$ 是酉空间（或欧式空间）$V$ 的线性变换，则下列命题等价：

1. $\mathscr {A}$ 是酉变换（或正交变换）
2. $||\mathscr {A}(\alpha)||=||\alpha||$，其中 $\forall \alpha \in V$
3. $\sigma$ 将 $V$ 的标准正交基变到标准正交基
4. 酉变换（或正交变换）在标准正交基下的矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）

满秩矩阵的 QR 分解

若 $n$ 阶实矩阵 $A\in \mathbb {C}^{n\times n}$ 满秩，且

$$ A = [\alpha_1,...,\alpha_n] $$

其中 $\alpha_1,...,\alpha_n$ 是 $\mathbb {C}^{n\times n}$ 中线性无关向量组

正交化

令

$$ \begin{aligned} \beta_1&=\alpha_1\\ \beta_2&=\alpha_2 - \frac{\left<\beta_1,\alpha_1\right>}{\left<\beta_1,\beta_1\right>}\beta_1\\ \vdots\\ \beta_n &= \alpha_n - \frac{\left<\beta_n,\alpha_1\right>}{\left<\beta_1,\beta_1\right>}\beta_1-\cdots-\frac{\left<\beta_{n-1},\alpha_n\right>}{\left<\beta_{n-1},\alpha_{n-1}\right>}\beta_{n-1} \end{aligned} $$

变形得

$$ \begin{aligned} \alpha_1 &= \beta_1\\ \alpha_2 &= \frac{\left<\beta_1,\alpha_1\right>}{\left<\beta_1,\beta_1\right>}\beta_1 + \beta_2\\ \vdots \\ \alpha_n &= \frac{\left<\beta_n,\alpha_1\right>}{\left<\beta_1,\beta_1\right>}\beta_1-\cdots-\frac{\left<\beta_{n-1},\alpha_n\right>}{\left<\beta_{n-1},\alpha_{n-1}\right>}\beta_{n-1} + \beta_n \end{aligned} $$

写成矩阵形式

$$ \begin{aligned} \begin{bmatrix}\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac{\left<\beta_1,\alpha_1\right>}{\left<\beta_1,\beta_1\right>}&\cdots &\frac{\left<\beta_1,\alpha_n\right>}{\left<\beta_1,\beta_1\right>}\\0&1&\cdots&\frac{\left<\beta_2,\alpha_n\right>}{\left<\beta_2,\beta_2\right>}\\ &&\ddots\\0&&\cdots& 1\end{bmatrix}\\ &\triangleq B\begin{bmatrix}1&\frac{\left<\beta_1,\alpha_1\right>}{\left<\beta_1,\beta_1\right>}&\cdots &\frac{\left<\beta_1,\alpha_n\right>}{\left<\beta_1,\beta_1\right>}\\0&1&\cdots&\frac{\left<\beta_2,\alpha_n\right>}{\left<\beta_2,\beta_2\right>}\\ &&\ddots\\0&&\cdots& 1\end{bmatrix} \end{aligned} $$

单位化

令

$$ q_1=\frac{\beta_1}{||\beta_1||}\\ \vdots \\ q_n = \frac{\beta_n}{||\beta_n||} $$

变形得

$$ \beta_1 = q_1||\beta_1||\\ \vdots \\ \beta_n = q_n ||\beta_n|| $$

写成矩阵形式

$$ \begin{aligned} \begin{bmatrix}\beta_1,\beta_2,...,\beta_n\end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}q_1,q_2,...,q_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}||\beta_1||&0&\cdots &0\\0&||\beta_2||&\cdots&0\\ &&\ddots\\0&&\cdots& ||\beta_n||\end{bmatrix}\\ &\triangleq Q\begin{bmatrix}||\beta_1||&0&\cdots &0\\0&||\beta_2||&\cdots&0\\ &&\ddots\\0&&\cdots& ||\beta_n||\end{bmatrix} \end{aligned} $$

综上，结合正交化和单位化可得

$$ \begin{aligned} A &= B\begin{bmatrix}1&\frac{\left<\beta_1,\alpha_1\right>}{\left<\beta_1,\beta_1\right>}&\cdots &\frac{\left<\beta_1,\alpha_n\right>}{\left<\beta_1,\beta_1\right>}\\0&1&\cdots&\frac{\left<\beta_2,\alpha_n\right>}{\left<\beta_2,\beta_2\right>}\\ &&\ddots\\0&&\cdots& 1\end{bmatrix}\\ &=Q\begin{bmatrix}||\beta_1||&0&\cdots &0\\0&||\beta_2||&\cdots&0\\ &&\ddots\\0&&\cdots& ||\beta_n||\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\frac{\left<\beta_1,\alpha_1\right>}{\left<\beta_1,\beta_1\right>}&\cdots &\frac{\left<\beta_1,\alpha_n\right>}{\left<\beta_1,\beta_1\right>}\\0&1&\cdots&\frac{\left<\beta_2,\alpha_n\right>}{\left<\beta_2,\beta_2\right>}\\ &&\ddots\\0&&\cdots& 1\end{bmatrix}\\ &=Q\begin{bmatrix}||\beta_1||&\frac{\left<\beta_1,\alpha_1\right>}{\left<\beta_1,\beta_1\right>}&\cdots &\frac{\left<\beta_1,\alpha_n\right>}{\left<\beta_1,\beta_1\right>}\\0&||\beta_2||&\cdots&\frac{\left<\beta_2,\alpha_n\right>}{\left<\beta_2,\beta_2\right>}\\ &&\ddots\\0&&\cdots& ||\beta_n||\end{bmatrix}\\ &\triangleq QR \end{aligned} $$

QR 分解定理：$A\in \mathbb {C}^{n\times n}$，则存在酉矩阵 $Q$ 和正线上三角阵 $R$，使

$$ A=QR $$

且分解唯一

QR 分解的求法

1. 取矩阵 $A=(A_1,A_2,...,A_n)$ 的列向量，进行 Schmidt 标准正交化，得 $v_1,v_2,...,v_n$，有 $Q=(v_1,v_2,...,v_n)$
2. 再由 $R=Q^HA$ 得到 $R$，于是 $A=QR$