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矩阵分析笔记(四)子空间

September 21, 2020 • Read: 190 • 数学阅读设置

线性子空间概念

定义:设$W$是$\mathbb{F}$上线性空间$V$的一个非空子集,若$W$关于$V$的加法数乘运算也构成线性空间,则称$W$是$V$的一个线性子空间,简称子空间

定理(线性子空间的判定定理):设$W$是$\mathbb{F}$上线性空间$V$的一个非空子集,则$W$是$V$的子空间的充要条件是:

  • 若$\alpha, \beta \in W$,则$\alpha + \beta \in W$
  • 若$\alpha \in W, k \in \mathbb{F}$,则$k\alpha \in W$

也就是说,只需要验证对加法和数乘封闭即可

例1

设$A$为实数(或复数)$m\times n$矩阵,证明:齐次线性方程组$Ax=0$的所有解(包括零解)的集合构成实(或复)数域$\mathbb{R}$(或$\mathbb{C}$)上的线性空间$N(A)$

证明:设$x_1, x_2\in N(A)$是齐次方程组$Ax=0$的两个解,下面证明$x_1+x_2\in N(A)$以及$\lambda x\in N(A)$

因为$A(x_1+x_2)=Ax_1+Ax_2=0$,所以$x_1+x_2 \in N(A)$

又因为$\lambda \in \mathbb{F}$,且$A(\lambda x) = \lambda (Ax)=0$,所以$\lambda x\in N(A)$

则齐次线性方程$Ax=0$的所有解的集合构成数域$\mathbb{F}$上的线性空间$N(A)$


生成子空间

定义:设$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s$是数域$F$上的线性空间$V$中的向量组,则该向量组所有可能的线性组合所构成的集合

$$ W=\{k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+···+k_s\alpha_s \mid k_1, k_2,...,k_s \in \mathbb{F}\} $$

是$V$的线性子空间,称为$V$的生成子空间,记作$span\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s\}$

反之,给定$V$的一个线性子空间$W$,若能找到向量组$\beta_1,\beta_2,...,\beta_r$使得恰有$W=span\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_r\}$,则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$为子空间$W$的一个生成向量组,简称生成组

生成子空间的性质

  1. $W=span\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s\}$,则$\alpha_1,\alpha_2, ..., \alpha_s \in W$
  2. $span\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s\}=span\{\beta_1, \beta_2,...,\beta_t\}\Leftrightarrow \alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s$与$\beta_1,\beta_2,...,\beta_t$等价
  3. $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$的极大线性无关组是$span\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\}$的基,故$\dim (span\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\})=rank(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)$

基扩张定理

设$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}$是$V^n$中一组线性无关向量,则$V^n$中存在$n-r$个向量$\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},...,\alpha_n$,使得

$$ \{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},...,\alpha_n\} $$

构成$V^n$的基

证明:若$r=n$,则结论显然成立

若$r<n$,下证必然存在一向量$\alpha_{r+1}\in V^n$,使得$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1}$线性无关

反证法:若对任意的非零向量$\beta \in V^n$,$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r,\beta$线性相关,则存在不全为0的数$k_1,k_2,...,k_r,k$,使得

$$ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+···+k_r\alpha_r+k\beta=0 $$

显然$k\neq 0$,所以有

$$ \beta = -\frac{k_1}{k}\alpha_1-\frac{k_2}{k}\alpha_2-···-\frac{k_r}{k}\alpha_r $$

由此得到,$V^n$任意向量均能被$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$线性表示,这与$r<n$矛盾

故若$r<n$,必存在一向量$\alpha_{r+1}\in V^n$,使得$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1}$线性无关

若$r+1=n$,则证明完毕

若$r+1<n$,则重复上面过程即可

例2

设$\alpha_1=(1,2,-1,0)^T,\alpha_2=(0,1,2,3)^T,\alpha_3=(2,3,-4,-3)^T$,求$span\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$的基与维数

解:

$$ \begin{align*} A &= \begin{bmatrix}\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\2 & 1 & 3\\ -1 & 2 & -4\\ 0 & 3 & -3 \end{bmatrix} \\ &\to \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align*} $$

因为$\alpha_1,\alpha_2$是线性无关的,且$\alpha_3=2\alpha_1-\alpha_2$

所以$\alpha_1,\alpha_2$为$span\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$的基,$\dim(span\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\})=2$


子空间的交与和

设$U,W$是$V$的子空间

  1. $U\cap W=\{\alpha\mid \alpha \in U\ \&\ \alpha \in W\}$也是$V$的子空间,称为$U,W$的交空间
  2. $U+W=\{\alpha_1+\alpha_2\mid \alpha_1\in U\ \& \ \alpha_2\in W\}$也是$V$的子空间,称为$U,W$的和空间

定理:

$$ U=span\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\}\\ W=span\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\} $$

则$U+W=span\{\alpha_1, ...,\alpha_s,\beta_1,...,\beta_t\}$

定理(维数公式):设$U$和$W$是线性空间$V$的两个子空间,则

$$ \dim(U)+\dim(W)=\dim(U+W)+\dim(U\cap W) $$


子空间的直和

设$W_1+W_2$中的任一向量只能唯一地分解为$W_1$中的一个向量与$W_2$中的一个向量之和,则称$W_1+W_2$为$W_1$与$W_2$的直和,记为$W_1\oplus W_2$

直和中元素的唯一分解性

设$W_1\oplus W_2=W$,若$w=w_1+w_2, w = w^{'}_1+w^{'}_2$,其中

$$ \begin{align*} w&\in W\\ w_1, w^{'}_1&\in W_1\\ w_2, w^{'}_2&\in W_2 \end{align*} $$

则必有$w_1=w^{'}_1, w_2=w^{'}_2$

证明:由$w=w_1+w_2, w=w^{'}_1+w^{'}_2$有$w_1-w^{'}_1=w^{'}_2-w_2$

由$w_1,w^{'}_1\in W_1$及$w_2,w^{'}_2\in W_2$有$w_1-w^{'}_1\in W_1$及$w^{'}_2-w_2\in W_2$

因此$w_1-w^{'}_1=w^{'}_2-w_2\in W_1\cap W_2$

从而由$W_1\cap W_2 = \{0\}$知$w_1=w^{'}_1,w_2=w^{'}_2$

直和的判定

设$W_1,W_2$是线性空间$V$的两个子空间,则下列命题等价:

  1. $W_1+W_2$是直和
  2. $0$的分解唯一
  3. $W_1\cap W_2=\{0\}$
  4. $\dim (W_1+W_2)=\dim(W_1)+\dim(W_2)$
  5. $W_1,W_2$的基合在一起构成$W_1+W_2$的基


补子空间

设$V$是$\mathbb{F}$上的线性空间,$V_1,V_2$是$V$的子空间。若$V_1\oplus V_2=V$,则称$V_1,V_2$是互补的子空间,或$V_2$是$V_1$的补子空间

任一子空间必有补子空间

设$V$是$\mathbb{F}$上的有限维线性空间,$V_1$是$V$的子空间。则存在子空间$V_2$,使得$V_1\oplus V_2=V$,且$V_2$不唯一

Last Modified: October 9, 2020
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