矩阵分析（四）子空间

线性子空间概念

定义：设$W$是$\mathbb{F}$上线性空间$V$的一个非空子集，若$W$关于$V$的加法和数乘运算也构成线性空间，则称$W$是$V$的一个线性子空间，简称子空间

（线性子空间的判定定理）：设$W$是$\mathbb{F}$上线性空间$V$的一个非空子集，则$W$是$V$的子空间的充要条件是：

1. 若$\alpha, \beta \in W$，则$\alpha + \beta \in W$
2. 若$\alpha \in W, k \in \mathbb{F}$，则$k\alpha \in W$

也就是说，只需要验证对加法和数乘封闭即可

$\{0\}$和$V$本身均是$V$的子空间，且这两个子空间称为平凡子空间

例1

设$A$为实数（或复数）$m\times n$矩阵，证明：齐次线性方程组$Ax=0$的所有解（包括零解）的集合构成实（或复）数域$\mathbb{R}$（或$\mathbb{C}$）上的线性空间$N(A)$

证明：设$x_1, x_2\in N(A)$是齐次方程组$Ax=0$的两个解，下面证明$x_1+x_2\in N(A)$以及$\lambda x\in N(A)$

因为$A(x_1+x_2)=Ax_1+Ax_2=0$，所以$x_1+x_2 \in N(A)$

又因为$\lambda \in \mathbb{F}$，且$A(\lambda x) = \lambda (Ax)=0$，所以$\lambda x\in N(A)$

则齐次线性方程$Ax=0$的所有解的集合构成数域$\mathbb{F}$上的线性空间$N(A)$

生成子空间

定义：设$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s$是数域$F$上的线性空间$V$中的向量组，则该向量组所有可能的线性组合所构成的集合

$$ W=\{k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+···+k_s\alpha_s \mid k_1, k_2,...,k_s \in \mathbb{F}\} $$

是$V$的线性子空间，称为$V$的生成子空间，记作$W=\text{span}\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s\}$或$W=L(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)$

反之，给定$V$的一个线性子空间$W$，若能找到向量组$\beta_1,\beta_2,...,\beta_r$使得恰有$W=\text{span}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_r\}$，则称向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$为子空间$W$的一个生成向量组，简称生成组

生成子空间的性质

1. $W=\text{span}\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s\}$，则$\alpha_1,\alpha_2, ..., \alpha_s \in W$
2. $\text{span}\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s\}=\text{span}\{\beta_1, \beta_2,...,\beta_t\}\Leftrightarrow \alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_s$与$\beta_1,\beta_2,...,\beta_t$等价
3. $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s$的极大线性无关组是$\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\}$的基，故$\dim (\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\})=\mathrm{rank}(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s)$

基扩张定理

设$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}$是$V^n$中一组线性无关向量，则$V^n$中存在$n-r$个向量$\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},...,\alpha_n$，使得

$$ \{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1},\alpha_{r+2},...,\alpha_n\} $$

构成$V^n$的基

证明：若$r=n$，则结论显然成立

若$r<n$，下证必然存在一向量$\alpha_{r+1}\in V^n$，使得$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1}$线性无关

反证法：若对任意的非零向量$\beta \in V^n$，$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r,\beta$线性相关，则存在不全为0的数$k_1,k_2,...,k_r,k$，使得

$$ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+···+k_r\alpha_r+k\beta=0 $$

显然$k\neq 0$，所以有

$$ \beta = -\frac{k_1}{k}\alpha_1-\frac{k_2}{k}\alpha_2-···-\frac{k_r}{k}\alpha_r $$

由此得到，$V^n$任意向量均能被$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r$线性表示，这与$r<n$矛盾

故若$r<n$，必存在一向量$\alpha_{r+1}\in V^n$，使得$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r,\alpha_{r+1}$线性无关

若$r+1=n$，则证明完毕

若$r+1<n$，则重复上面过程即可

例2

设$\alpha_1=(1,2,-1,0)^T,\alpha_2=(0,1,2,3)^T,\alpha_3=(2,3,-4,-3)^T$，求$\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$的一组基与维数

解：

$$ \begin{align*} A &= \begin{bmatrix}\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\2 & 1 & 3\\ -1 & 2 & -4\\ 0 & 3 & -3 \end{bmatrix} \\ &\to \begin{bmatrix}1 & 0 & 2\\0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{align*} $$

因为$\alpha_1,\alpha_2$是线性无关的，且$\alpha_3=2\alpha_1-\alpha_2$

所以$\alpha_1,\alpha_2$为$\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$的一组基，$\dim(\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\})=2$

例3

在$\mathbb{F}^{2\times 2}$中

$$ A = \begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}2&1\\1&1\end{bmatrix},C=\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix},D=\begin{bmatrix}-1&1\\-1&1\end{bmatrix} $$

求$W=L(A,B,C,D)$的一组基

解：

$$ \begin{aligned} (A,B,C,D)&=\begin{bmatrix}1&2&1&-1\\2&1&1&1\\2&1&1&-1\\1&1&1&1\end{bmatrix}\\ &\to \begin{bmatrix}1&2&1&-1\\0&-3&-1&3\\0&0&\frac{1}{3}&1\\0&0&0&1\end{bmatrix} \end{aligned} $$

因为$A,B,C,D$是线性无关的，所以$A,B,C,D$为$L(A,B,C,D)$的一组基，$\dim(L(A,B,C,D))=4$

例4

已知

$$ \begin{array}{ll} \alpha_{1}=(1,2,1,0)^{\mathrm{T}}, & \alpha_{2}=(-1,1,1,1)^{\mathrm{T}} \\ \boldsymbol{\beta}_{1}=(2,-1,0,1)^{\mathrm{T}}, & \boldsymbol{\beta}_{2}=(1,-1,3,7)^{\mathrm{T}} \end{array} $$

求$\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2\}$与$\text{span}\{\beta_1,\beta_2\}$的和与交的基和维数

解：因为$\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2\}+\text{span}\{\beta_1,\beta_2\}=\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2\}$

由于秩$\{\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2\}=3$，且$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1$是向量$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2$的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1$

方法一：设$\xi \in \text{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\} \cap \text{span}\left\{\beta_{1}, \beta_{2}\right\}$，由交空间定义可知

$$ \xi=k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}=k_{3} \beta_{1}+k_{4} \beta_{2} $$

即

$$ k_{1}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+k_{2}\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]+k_{3}\left[\begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right]+k_{4}\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ -3 \\ -7 \end{array}\right]=0 $$

解得

$$ k_{1}=-k_{4}, k_{2}=4k_{4}, k_{3}=-3 k_{4}\left(k_{4} \text { 为任意数 }\right) $$

于是

$$ \xi=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=k_4[-5,2,3,4]^T $$

显然$\xi=k_3\beta_1+k_4\beta_2$，所以交空间的维数为1，基为$[-5,2,3,4]^T$

方法二：不难知

$$ \text{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\}=\text{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}^{\prime}\right\}, \text{span}\left\{\beta_{1}, \beta_{2}\right\}=\text{span}\left\{\beta_{1}, \beta_{2}^{\prime}\right\} $$

其中$\alpha^{\prime}=[-2,-2,0,1]^T,\beta^{\prime}=[-\frac{13}{3},2,1,0]^T$，又$\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2^{\prime}\}$也是线性方程组

$$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}=x_{3}-2 x_{4} \\ x_{2}=2 x_{1}-x_{4} \end{array}\right. $$

的解空间，$\text{span}\{\beta_1,\beta_{2}^{\prime}\}$是线性方程组

$$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}=-\frac{13}{3} x_{3}+2 x_{4} \\ x_{2}=2 x_{3}-x_{4} \end{array}\right. $$

的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组

$$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}= x_{3}-2 x_{4} \\ x_{2}= 2 x_{3}-x_{4} \\ x_{1}=-\frac{13}{3} x_{3}+2 x_{4} \\ x_{2}= 2 x_{3}-x_{4} \end{array}\right. $$

的解空间，容易求出其基础解系为$[-5,2,3,4]^T$，所以交空间的维数为1，基为$[-5,2,3,4]^T$

子空间的交与和

设$U,W$是$V$的子空间

1. $U\cap W=\{\alpha\mid \alpha \in U\ \&\ \alpha \in W\}$也是$V$的子空间，称为$U,W$的交空间
2. $U+W=\{\alpha_1+\alpha_2\mid \alpha_1\in U\ \& \ \alpha_2\in W\}$也是$V$的子空间，称为$U,W$的和空间

定理：设

$$ U=\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s\}\\ W=\text{span}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_t\} $$

则$U+W=\text{span}\{\alpha_1, ...,\alpha_s,\beta_1,...,\beta_t\}$

定理（维数公式）：设$U$和$W$是线性空间$V$的两个子空间，则

$$ \begin{aligned} &\dim(U)+\dim(W)=\dim(U+W)+\dim(U\cap W)\\ &\dim (U \cap W) \leqslant \dim(U) = \dim(W) \leqslant \dim(U + W) \leqslant \dim (V) \end{aligned} $$

例5

设$\mathbb{F}^{2\times 2}$子空间

$$ V_1=\{\begin{bmatrix}x&x\\y&y\end{bmatrix}\mid x, y\in \mathbb{F}\}\\ V_2=\{\begin{bmatrix}x&y\\-y&-x\end{bmatrix}\mid x,y\in \mathbb{F}\} $$

求$V_1,V_2,V_1+V_2$及$V_1\cap V_2$的基和维数

解：

很明显可知$V_1$的一组基是$A=\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}0&0\\1&1\end{bmatrix}$，则$V_1=\text{span}\{A,B\}$

$V_2$的一组基是$C=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix},D=\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$，则$V_2=\text{span}\{C,D\}$

因为$V_1+V_2=\text{span}\{A,B,C,D\}$，所以$V_1+V_2$的一组基就是$(A,B,C,D)$的极大线性无关组

$$ \begin{aligned} (A,B,C,D)&=\begin{bmatrix}1&0&1&0\\1&0&0&1\\0&1&0&-1\\0&1&-1&0\end{bmatrix}\\ &\to \begin{bmatrix}1&0&1&0\\0&1&0&-1\\0&0&1&-1\\0&0&0&0\end{bmatrix} \end{aligned} $$

故$V_1+V_2$的一组基是$(A,B,C)$，且$\dim(V_1+V_2)=3$

根据维数定理$\dim(V_1\cap V_2)=1$，由分析得$V_1\cap V_2=\text{span}\{\begin{bmatrix}x&x\\-x&-x\end{bmatrix}\mid x\in \mathbb{F}\}$，

例6

设

$$ \alpha_1=(1,2,1,0)^T,\alpha_2=(-1,1,1,1)^T,\beta_1=(2, -1,0,1)^T,\beta_2=(1,-1,3,7)^T\\ V_1=\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2\},V_2=\text{span}\{\beta_1,\beta_2\} $$

求$\mathbb{F}^{4}$的子空间$V_1+V_2,V_1\cap V_2$的基与维数

解：因为$V_1+V_2=\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2\}$，所以$V_1+V_2$的一组基就是$(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)$的极大线性无关组

$$ \begin{aligned} (\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)&=\begin{bmatrix}1&-1&2&1\\2&1&-1&-1\\1&1&0&3\\0&1&1&7\end{bmatrix}\\ &\to\begin{bmatrix}1&-1&2&1\\0&3&-5&-3\\0&0&1&3\\0&0&0&0\end{bmatrix} \end{aligned} $$

故$V_1+V_2$的一组基是$(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1)$，且$\dim(V_1+V_2)=3$

设$\xi \in V_1\cap V_2$，则$\xi=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=k_3\beta_1+k_4\beta_2$，即

$$ \begin{bmatrix}1&-1&-2&-1\\2&1&1&1\\1&1&0&-3\\0&1&-1&-7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\k_3\\k_4\end{bmatrix}=0\\ \Rightarrow \begin{cases}k_1=-k_4\\k_2=4k_4\\k_3=-3k_4\end{cases} $$

故$\xi=\alpha_1-4\alpha_2=3\beta_1-\beta_2$，所以$V_1\cap V_2$的一组基为$[5,-2,-3,-4]^T$，维数为1

例7

已知

$$ A=\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&2&2\\3&1&4&4\end{bmatrix},B=\begin{bmatrix}1&2&1&1\\2&1&2&2\end{bmatrix}\\ V_1=\{x\in \mathbb{F}^4\mid Ax=0\},V_2=\{x\in \mathbb{F}^4\mid Bx=0\} $$

求$V_1\cap V_2,V_1+V_2$的基与维数

解：

$V_1\cap V_2$的基就是线性方程组

$$ \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=0\\ x_1-x_2+2x_3+2x_4=0\\ 3x_1+x_2+4x_3+4x_4=0\\ x_1+2x_2+x_3+x_4=0\\ 2x_1+x_2+2x_3+2x_4=0 \end{cases} $$

的基础解系。解得其基础解系为$\sigma=[0,0,-1,1]^T$，故$V_1\cap V_2$的一组基为$\sigma$，$\dim(V_1\cap V_2)=1$

$V_1$的基为$Ax=0$的基础解系，即

$$ \begin{aligned} \begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&-1&2&2\\3&1&4&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}=0\\ \Rightarrow \begin{cases}\eta_1=[-3,1, 2,0]^T\\\eta_2=[-3,1,0,2]^T\end{cases} \end{aligned} $$

$V_2$的基为$Bx=0$的基础解系，即

$$ \begin{bmatrix}1&2&1&1\\2&1&2&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}=0\\ \Rightarrow \begin{cases}\xi_1=[-1,0,0,1]^T\\\xi_2=[-1,0,1,0]\end{cases} $$

$V_1+V_2=\text{span}\{\eta_1,\eta_2,\xi_1,\xi_2\}$，即对$\{\eta_1,\eta_2,\xi_1,\xi_2\}$作初等行变换

$$ [\eta_1,\eta_2,\xi_1,\xi_2]=\begin{bmatrix}-3&-3&-1&-1\\1&1&0&0\\2&0&0&1\\0&2&1&0\end{bmatrix}\\ \to \begin{bmatrix}-3&-3&-1&-1\\0&-6&-2&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{bmatrix} $$

故$V_1+V_2$的基为$\eta_1,\eta_2,\xi_1$，且$\dim(V_1+V_2)=3$

例8

已知$V_1$是齐次线性方程组

$$ \text { (I) }\left\{\begin{array}{l} x_{1}-2 x_{2}-x_{3}-x_{4}=0 \\ 5 x_{1}-10 x_{2}-6 x_{3}-4 x_{4}=0 \end{array}\right. $$

的解空间，$V_2$是齐次线性方程组

$$ \text { (II) } x_{1}-x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=0 $$

的解空间，试求

（1）$V_1$与$V_2$的基与维数

（2）$V_1\cap V_2$的基与维数

（3）$V_1+V_2$的基与维数

解：

（1）线性方程组$\text { (I) }$的基础解系为

$$ \left\{\begin{array}{l} \xi_1=[2, 1, 0, 0]^T\\ \xi_2=[2, 0, 1, 1]^T \end{array}\right. $$

故$V_1$的基是$\xi_1,\xi_2$，维数为2

线性方程组$\text { (II) }$的基础解系（及基）为

$$ \left\{\begin{array}{l} \eta_{1}=[1,1,0,0]^T \\ \eta_{2}=[-1,0,1,0]^T \\ \eta_{3}=[-2,0,0,1]^T \end{array}\right. $$

维数为3

（2）设$V_1\cap V_2$的基就是线性方程组

$$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}-2 x_{2}-x_{3}-x_{4}=0 \\ 5 x_{1}-10 x_{2}-6 x_{3}-4 x_{4}=0\\ x_{1}-x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=0 \end{array}\right. $$

的基础解系。解得其基础解系为

$$ \sigma=[-8,-5,1,1]^T $$

故$V_1\cap V_2$的基为$\sigma$，维数为1

（3）$V_1+V_2=\text{span}\{\xi_1, \xi_2,\eta_1,\eta_2,\eta_3\}$，即对$\{\xi_1,\xi_2,\eta_1,\eta_2,\eta_3\}$作初等行变换

$$ [\xi_1,\xi_2,\eta_1,\eta_2,\eta_3]=\begin{bmatrix}2&2&1&-1&-2\\1&0&1&0&0\\1&1&0&1&0\\0&1&0&0&1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\end{bmatrix} $$

故$V_1+V_2$的基为$[1, 0, 0, 0]^T,[0, 1, 0, 0]^T,[0, 0,1, 0]^T,[0, 0, 0, 1]^T$，维数为4

例9

已知$V_1$是齐次线性方程组

$$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=0 \\ x_{1}+x_{2}-2 x_{3}+3 x_{4}=0 \end{array}\right. $$

的解空间，$V_2=\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$，其中$\alpha_{1}=(-3,-1,1,0)^{T},\alpha_{2}=(4,3,-1,-1)^{T},\alpha_{3}=(-2,1,1,-1)^{T}$，试求

（1）$V_1$与$V_2$的基与维数

（2）$V_1\cap V_2$的基与维数

（3）$V_1+V_2$的基与维数

解：

（1）$V_1$的基即齐次线性方程组的基础解系

$$ \left\{\begin{array}{l} \xi_1=[-3, 7, 2, 0]^T\\ \xi_2=[-1, -2, 0, 1]^T \end{array}\right. $$

故$V_1$的基为$\xi_1,\xi_2$，维数为2

对$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$作初等行变换得

$$ \left[\begin{array}{ccc} -3 & 4 & -2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{array}\right]\rightarrow\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$

即$\alpha_1,\alpha_2$为$V_2$的基，维数为2

（2）设$\xi\in V_1\cap V_2$，则$\xi=k_1\xi_1+k_2\xi_2=k_3\alpha_1+k_4\alpha_2$，即

$$ \left[\begin{array}{cccc} -3 & -1 & 3 & -4 \\ 7 & -2 & 1 & -3 \\ 2 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} k_{1} \\ k_{2} \\ k_{3} \\ k_{4} \end{array}\right]=0\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} k_1=0\\ k_3=-k_2\\ k_4=-k_2\\ \end{array}\right. $$

故$\xi=-\xi_2=\alpha_1+\alpha_2$，所以$V_1\cap V_2$的一组基为$[1,-2,0,-1]^T$，维数为1

（3）$V_1+V_2=\text{span}\{\xi_1,\xi_2,\alpha_1,\alpha_2\}$，即对$\{\xi_1,\xi_2,\alpha_1,\alpha_2\}$作初等行变换

$$ (\xi_{1},\xi_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{2})=\left[\begin{array}{ccc} -3 & -1 & -3 & 4 \\ 7 & -2 & -1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$

故$V_1+V_2$的基为$\xi_1,\xi_2,\alpha_1$，维数为3

例10

已知$V_1=\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\},V_2=\text{span}\{\beta_1,\beta_2\}$，其中

$$ \begin{array}{c} \alpha_{1}=(1,2,1,0)^{T} \quad \alpha_{2}=(-1,1,0,1)^{T} \quad \alpha_{3}=(1,5,2,1)^{T} \\ \beta_{1}=(0,1,2,1)^{T} \quad \beta_{2}=(0,5,10,5)^{T} \end{array} $$

试求：

（1）$V_1$与$V_2$的基与维数

（2）$V_1\cap V_2$的基与维数

（3）$V_1+V_2$的基与维数

解：

（1）对$(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$作初等行变换得

$$ \left(\alpha_{1}, \alpha_{1}, \alpha_{3}\right)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$

所以$V_1$的基为$\alpha_1,\alpha_2$，维数为2

对$(\beta_1,\beta_2)$作初等行变换得

$$ \left(p_{1}, \beta_{i}\right)=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 5 \\ 2 & 10 \\ 1 & 5 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ll} 1 & 5 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right] $$

故$V_2$的基为$\beta_1$或$\beta_2$，维数为1

（2）设$\xi\in V_1\cap V_2=\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2\}\cap \text{span}\{\beta_1\}$，则

$$ \xi = k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=k_3\beta_1 $$

即

$$ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2-k_3\beta_1=0\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{lll} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \\ \end{array}\right]=0\\ \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} k_1=0\\ k_2=0\\ k_3=0 \end{array}\right. $$

故$V_1\cap V_2$是零空间，无基，0维

（3）$V_1+V_2=\text{span}\{\alpha_1,\alpha_2,\beta_1\}$，即对$(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1)$作初等行变换

$$ (\alpha_1,\alpha_2,\beta_1)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] $$

故$V_1+V_2$的基为$\alpha_1,\alpha_2,\beta_1$，维数为3

子空间的直和

设$W_1+W_2$中的任一向量只能唯一地分解为$W_1$中的一个向量与$W_2$中的一个向量之和，则称$W_1+W_2$为$W_1$与$W_2$的直和，记为$W_1\oplus W_2$

直和中元素的唯一分解性

设$W_1\oplus W_2=W$，若$w=w_1+w_2, w = w^{\prime}_1+w^{\prime}_2$，其中

$$ \begin{align*} w&\in W\\ w_1, w^{\prime}_1&\in W_1\\ w_2, w^{\prime}_2&\in W_2 \end{align*} $$

则必有$w_1=w^{\prime}_1, w_2=w^{\prime}_2$

证明：由$w=w_1+w_2, w=w^{\prime}_1+w^{\prime}_2$有$w_1-w^{\prime}_1=w^{\prime}_2-w_2$

由$w_1,w^{\prime}_1\in W_1$及$w_2,w^{\prime}_2\in W_2$有$w_1-w^{\prime}_1\in W_1$及$w^{\prime}_2-w_2\in W_2$

因此$w_1-w^{\prime}_1=w^{\prime}_2-w_2\in W_1\cap W_2$

从而由$W_1\cap W_2 = \{0\}$知$w_1=w^{\prime}_1,w_2=w^{\prime}_2$

直和的性质

设$W_1,W_2$是线性空间$V$的两个子空间，则下列命题等价：

1. $W_1+W_2$是直和
2. $0$的分解唯一
3. $W_1\cap W_2=\{0\}$
4. $\dim (W_1+W_2)=\dim(W_1)+\dim(W_2)$
5. $W_1,W_2$的基合在一起构成$W_1+W_2$的基

*多个子空间的直和

设$W_1,W_2,...,W_s$是$W$的$s$个子空间，若$\forall \eta \in W_1+W_2+···+W_s$，且存在唯一的$\eta_i\in W_i,i=1,2,...,s$，使得$\eta=\sum_{i=1}^s\eta_i$，则称$W_1+W_2+···+W_s$是直和，记为$W_1\oplus W_2\oplus ···\oplus W_s$

多个子空间直和的性质

设$W_1,...,W_s$是线性空间$W$的$s$个子空间，则下列命题等价

1. $W_1+W_2+···+W_s$是直和
2. $0$的分解唯一
3. $V_j\cap \sum_{i\neq j}V_j =\{0\}$
4. $\dim(\sum_{i=1}^sV_i)=\sum_{i=1}^s\dim(V_i)$
5. 将$V_1,...,V_s$的基合在一起就是$V_1+V_2+···+V_s$的基

第三条要注意下，$V_j\cap (V_1+V_2+···+V_{s-1}+V_{s+1}+···+V_s)={0}$

例11

已知$\mathbb{F}^{n\times n}$的子空间$V_1=\{A\mid A^T=A\},V_2=\{A\mid A^T=-A\}$

证明：$\mathbb{F}^{n\times n}=V_1\oplus V_2$

解：首先需要证明$V_1+V_2$是直和，然后证明$\mathbb{F}^{n\times n}=V_1+V_2$

设$B\in V_1\cap V_2$，则$B^T=B$，且$B^T=-B$，因此$B=-B\Rightarrow B=\mathbb{0}$，故$V_1\cap V_2={0}$，则$V_1+V_2$是直和

显然$V_1+V_2\subseteq \mathbb{F}^{n\times n}$，因为两个$n\times n$矩阵的和依然在$\mathbb{F}^{n \times n}$中

现在要证$\mathbb{F}^{n\times n}\subseteq V_1+V_2$，实际上就是要证明任何一个矩阵都可以写成对称矩阵和反对称矩阵之和

设$C\in \mathbb{F}^{n\times n}$，因为$(C+C^T)\in V_1$是对称矩阵，$(C-C^T)\in V_2$是反对称矩阵，且$C=\frac{1}{2}(C+C^T)+\frac{1}{2}(C-C^T)$，所以$\mathbb{F}^{n\times n}\subseteq V_1+V_2$

综上所述，$\mathbb{F}^{n\times n}=V_1\oplus V_2$

例12

设$A\in \mathbb{F}^{n\times n}$，且$A^2=A$，$V_1=\{x\in \mathbb{F}^{n}\mid Ax=0\}$，$V_2=\{x\in \mathbb{F}^n\mid Ax=x\}$

证明：$\mathbb{F}^n=V_1\oplus V_2$

解：

设$x\in V_1\cap V_2$，则$Ax=0$，且$Ax=x$，因此$x=0$，故$V_1\cap V_2=0$，则$V_1+V_2$是直和

显然$V_1+V_2\subseteq \mathbb{F}^{n}$

设$\eta \in \mathbb{F}^n$，则$\eta -A\eta\in V_1$，因为$A(\eta-A\eta)=A\eta-A^2\eta=0$

$A\eta \in V_2$，因为$A(A\eta)=A^2\eta=A\eta$

又因为$\eta=(\eta-A\eta)+A\eta$，所以$\mathbb{F}^{n}\subseteq V_1+V_2$

综上所述，$\mathbb{F}^n=V_1\oplus V_2$

例13

设

$$ V_1 = \{\begin{bmatrix}x_1&x_2\\x_3&x_4\end{bmatrix}\in \mathbb{R}^{2\times 2}\mid 2x_1+3x_2-x_3=0, x_1+2x_2+3x_3-x_4=0\}\\ V_2 = \text{span}\{\begin{bmatrix}2&-1\\a+2&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1&2\\4&a+8\end{bmatrix}\} $$

（1）求$V_1$的一个基与维数

（2）当$a$为何值时，$V_1+V_2$是直和？

解：

（1）解齐次线性方程组

$$ \begin{cases} 2x_1+3x_2-x_3=0\\ x_1+2x_2+3x_3-x_4=0 \end{cases} $$

解得基础解系为$[1, -1, -1, -4]^T, [-3, 2, 0, 1]^T$

所以$\dim(V_1)=2$，其基是$\begin{bmatrix}1&-1\\-1&-4\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-3&2\\0&1\end{bmatrix}$

（2）因为$\dim(V_1)=2,\dim(V_2)=2$，由定理可知，若$\dim(V_1+V_2)=4$，则$V_1+V_2$是直和

而$\dim(V_1+V_2)=4$的充要条件是

$$ \begin{bmatrix}1&-1\\-1&-4\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-3&2\\0&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2&-1\\a+2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&2\\4&a+8\end{bmatrix} $$

线性无关，即矩阵$\begin{bmatrix}1&-3&2&-1\\-1&2&-1&2\\-1&0&a+2&4\\-4&1&1&a+8\end{bmatrix}$是满秩的

$$ \begin{bmatrix}1&-3&2&-1\\-1&2&-1&2\\-1&0&a+2&4\\-4&1&1&a+8\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1&-3&2&-1\\0&-1&1&1\\0&0&a+1&0\\0&0&-2&a-7\end{bmatrix} $$

所以当$a\neq -1$且$a\neq 7$时，$V_1+V_2$是直和

补子空间

设$V$是$\mathbb{F}$上的线性空间，$V_1,V_2$是$V$的子空间。若$V_1\oplus V_2=V$，则称$V_1,V_2$是互补的子空间，或$V_2$是$V_1$的补子空间

任一子空间必有补子空间

设$V$是$\mathbb{F}$上的有限维线性空间，$V_1$是$V$的子空间。则存在子空间$V_2$，使得$V_1\oplus V_2=V$，且$V_2$不唯一