B站:https://space.bilibili.com/181990557

MENU

矩阵分析笔记(二)极大线性无关组

September 15, 2020 • Read: 71 • 数学阅读设置

两个向量组之间的线性表示关系

设$V$是$\mathbb{F}$上的线性空间,$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$和$\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$是$V$中的两个向量组,$\beta\in V$

  1. 如果存在$p$个数$k_i\in \mathbb{F},i=1,2,...,p$,使得$\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+···+\alpha_pk_p=\beta$,称向量$\beta$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$线性表示
  2. 如果每个$\beta_j$都可以由向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$线性表示,$j=1,2,...,q$。为了方便,$\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$可由$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$线性表示,用符号记为$\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}≤_{lin}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}$

线性表示关系的传递性

设$V$是$\mathbb{F}$上的线性空间,$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$;$\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$;$\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t$是$V$中三个向量组。若

$$ \{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}\\ \{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}≤_{lin}\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t\} $$

则$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t\}$

证明:我们利用线性表示关系的矩阵表达。由存在$T\in \mathbb{F}^{q\times p},S\in \mathbb{F}^{t\times q}$满足

$$ [\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p]=[\beta_1,\beta_2,...,\beta_q]T\\ [\beta_1, \beta_2,...,\beta_q]=[\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t]S $$

得$[\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p]=[\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t](ST)$。由于$ST\in \mathbb{F}^{t\times p}$得证

扁(列>行)的齐次线性方程组必有非零解

设$A\in \mathbb{F}^{m\times n},1≤m<n$,则齐次线性方程组$Ax=0$必有非零解

$$ x=\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\in \mathbb{F}^n,\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\neq0 $$

这里,$m<n$,也就是方程的个数少于未知数的个数(不定方程),系数矩阵呈扁形

证明:对$m$用数学归纳法

  1. $m=1$时,$n≥2$。根据$a_{11}$是否为0分两种情况

    1. 若$a_{11}=0$,则取$\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ \vdots \\0\end{bmatrix}$,易知其为一非零解
    2. 若$a_{11}\neq0$,由$n≥2$,可取$\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{a_{12}}{a_{11}}\\ 0\\ \vdots \\0\end{bmatrix}$,易知这样取得$c$为一非零解
  2. 假设$m≤p$时命题成立,下面证明$m=p+1$的情形,此时$n≥p+2$,同样根据$x_1$的系数,也就是系数矩阵$A$的第一列$\alpha_1=\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{p+1,1}\end{bmatrix}$是否为0分两种情况

    1. 若$\alpha_1=0$,则取$c=\begin{bmatrix}c_1\\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$
    2. 若$\alpha_1\neq0$,不妨设$\alpha_{11}\neq0$,则有与$Ax=0$同解的线性方程组$\begin{bmatrix}a_{11} &a_{12}&\cdots &a_{1n} \\ 0 &0 & \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & a_{p+1,2}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{12} & \cdots & a_{p+1, n}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{1n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=0$,由归纳假设,如下$p$个方程,$n-1(≥p+1>p)$个未知数的线性方程组$\begin{bmatrix}a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}}·a_{12} & \cdots & a_{2n}-\frac{a_{21}}{a_{11}}·a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{p+1,2}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{12} & \cdots & a_{p+1,n}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{1n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=0$有非零解$\begin{bmatrix}x_2\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_2\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\neq 0$,再取$x_1=c_1=-\frac{1}{a_{11}}(a_{12}c_2+···+a_{1n}c_n)$,易知$\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1 \\ c_2\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\neq 0$是方程组$Ax=0$的非零解。证毕

线性表示与线性无关性

设$V$是$\mathbb{F}$上的线性空间,$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$和$\beta_1, \beta_2,...,\beta_q$是$V$中两个向量组。若$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$线性无关,且$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}$,则$p≤q$

证明:用反证法,假设$p<q$,由线性表示关系的矩阵表达可知,存在矩阵$T\in \mathbb{F}^{q\times p}$,使得

$$ \begin{bmatrix}\alpha_1 &\alpha_2 & \cdots & \alpha_p\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\beta_1 &\beta_2 & \cdots & \beta_q\end{bmatrix}T $$

因为扁的齐次方程组必有非零解,所以存在$c\in \mathbb{F}^p$非零,使得$Tc=0$。上述等式两边右乘$c$得

$$ \begin{bmatrix}\alpha_1 &\alpha_2 & \cdots & \alpha_p\end{bmatrix}c=\begin{bmatrix}\beta_1 &\beta_2 & \cdots & \beta_q\end{bmatrix}Tc=0 $$

因为$c\in \mathbb{F}^p$非零,此结论与$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$线性无关矛盾,证毕

以少表多,多必相关

$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$与$\beta_1, \beta_2,...,\beta_s$是线性空间$V$中的两个向量组。若:

  1. $\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$可由$\beta_1, \beta_2,...,\beta_s$线性表示
  2. $r>s$

则$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$线性相关

证明:因为$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\}$,所以$\exists A\in \mathbb{F}^{s\times r}$,使得

$$ \begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_s\end{bmatrix}A $$

于是有$r(\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r\end{bmatrix})≤min\{r(\begin{bmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_s\end{bmatrix}), r(A)\}≤s<r$

即$r(\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r\end{bmatrix})<r$,所以向量组$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$线性相关

推论:若$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\}$,且$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$线性无关,则$r≤s$

Archives Tip
QR Code for this page
Tipping QR Code