矩阵分析（二）极大线性无关组

两个向量组之间的线性表示关系

设 $V$ 是 $\mathbb {F}$ 上的线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ 和 $\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$ 是 $V$ 中的两个向量组，$\beta\in V$

1. 如果存在 $p$ 个数 $k_i\in \mathbb {F},i=1,2,...,p$，使得 $\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+・・・+\alpha_pk_p=\beta$，称向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ 线性表示
2. 如果每个 $\beta_j$ 都可以由向量组 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ 线性表示，$j=1,2,...,q$。为了方便，$\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ 线性表示，用符号记为 $\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}≤_{lin}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}$

线性表示关系的传递性

设 $V$ 是 $\mathbb {F}$ 上的线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$；$\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$；$\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t$ 是 $V$ 中三个向量组。若

$$ \{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}\\ \{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}≤_{lin}\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t\} $$

则 $\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t\}$

证明：我们利用线性表示关系的矩阵表达。由存在 $T\in \mathbb {F}^{q\times p},S\in \mathbb {F}^{t\times q}$ 满足

$$ [\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p]=[\beta_1,\beta_2,...,\beta_q]T\\ [\beta_1, \beta_2,...,\beta_q]=[\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t]S $$

得 $[\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p]=[\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t](ST)$。由于 $ST\in \mathbb {F}^{t\times p}$ 得证

扁（列 > 行）的齐次线性方程组必有非零解

设 $A\in \mathbb {F}^{m\times n},1≤m＜n$，则齐次线性方程组 $Ax=0$ 必有非零解

$$ x=\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\in \mathbb{F}^n,\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\neq0 $$

这里，$m<n$，也就是方程的个数少于未知数的个数（不定方程），系数矩阵呈扁形

证明：对 $m$ 用数学归纳法

1. $m=1$ 时，$n≥2$。根据 $a_{11}$ 是否为 0 分两种情况

   1. 若 $a_{11}=0$，则取 $\begin {bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 1\\ 0\\ \vdots \\0\end {bmatrix}$，易知其为一非零解
   2. 若 $a_{11}\neq0$，由 $n≥2$，可取 $\begin {bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end {bmatrix}=\begin {bmatrix}-\frac {a_{12}}{a_{11}}\\ 0\\ \vdots \\0\end {bmatrix}$，易知这样取得 $c$ 为一非零解

2. 假设 $m≤p$ 时命题成立，下面证明 $m=p+1$ 的情形，此时 $n≥p+2$，同样根据 $x_1$ 的系数，也就是系数矩阵 $A$ 的第一列 $\alpha_1=\begin {bmatrix} a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{p+1,1}\end {bmatrix}$ 是否为 0 分两种情况

   1. 若 $\alpha_1=0$，则取 $c=\begin {bmatrix} c_1\\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} 1\\ 0\\ \vdots \\ 0\end {bmatrix}$
   2. 若 $\alpha_1\neq0$，不妨设 $\alpha_{11}\neq0$，则有与 $Ax=0$ 同解的线性方程组 $\begin {bmatrix} a_{11} &a_{12}&\cdots &a_{1n} \\ 0 &0 & \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & a_{p+1,2}-\frac {a_{p+1,1}}{a_{11}}・a_{12} & \cdots & a_{p+1, n}-\frac {a_{p+1,1}}{a_{11}}・a_{1n}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end {bmatrix}=0$，由归纳假设，如下 $p$ 个方程，$n-1 (≥p+1>p)$ 个未知数的线性方程组 $\begin {bmatrix} a_{22}-\frac {a_{21}}{a_{11}}・a_{12} & \cdots & a_{2n}-\frac {a_{21}}{a_{11}}・a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{p+1,2}-\frac {a_{p+1,1}}{a_{11}}・a_{12} & \cdots & a_{p+1,n}-\frac {a_{p+1,1}}{a_{11}}・a_{1n}\end {bmatrix}\begin {bmatrix} x_2 \\ \vdots \\ x_n\end {bmatrix}=0$ 有非零解 $\begin {bmatrix} x_2\\ \vdots \\ x_n\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} c_2\\ \vdots \\ c_n\end {bmatrix}\neq 0$，再取 $x_1=c_1=-\frac {1}{a_{11}}(a_{12} c_2+・・・+a_{1n} c_n)$，易知 $\begin {bmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} c_1 \\ c_2\\ \vdots \\ c_n\end {bmatrix}\neq 0$ 是方程组 $Ax=0$ 的非零解。证毕

线性表示与线性无关性

设 $V$ 是 $\mathbb {F}$ 上的线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ 和 $\beta_1, \beta_2,...,\beta_q$ 是 $V$ 中两个向量组。若 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ 线性无关，且 $\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}$，则 $p≤q$

证明：用反证法，假设 $p<q$，由线性表示关系的矩阵表达可知，存在矩阵 $T\in \mathbb {F}^{q\times p}$，使得

$$ \begin{bmatrix}\alpha_1 &\alpha_2 & \cdots & \alpha_p\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\beta_1 &\beta_2 & \cdots & \beta_q\end{bmatrix}T $$

因为扁的齐次方程组必有非零解，所以存在 $c\in \mathbb {F}^p$ 非零，使得 $Tc=0$。上述等式两边右乘 $c$ 得

$$ \begin{bmatrix}\alpha_1 &\alpha_2 & \cdots & \alpha_p\end{bmatrix}c=\begin{bmatrix}\beta_1 &\beta_2 & \cdots & \beta_q\end{bmatrix}Tc=0 $$

因为 $c\in \mathbb {F}^p$ 非零，此结论与 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$ 线性无关矛盾，证毕

以少表多，多必相关

$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$ 与 $\beta_1, \beta_2,...,\beta_s$ 是线性空间 $V$ 中的两个向量组。若：

1. $\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$ 可由 $\beta_1, \beta_2,...,\beta_s$ 线性表示
2. $r>s$

则 $\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$ 线性相关

证明：因为 $\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\}$，所以 $\exists A\in \mathbb {F}^{s\times r}$，使得

$$ \begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_s\end{bmatrix}A $$

于是有 $r (\begin {bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r\end {bmatrix})≤\min\{r (\begin {bmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_s\end {bmatrix}), r (A)\}≤s<r$

即 $r (\begin {bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r\end {bmatrix})<r$，所以向量组 $\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$ 线性相关

推论：若 $\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\}$，且 $\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$ 线性无关，则 $r≤s$