矩阵分析（二）极大线性无关组

两个向量组之间的线性表示关系

设$V$是$\mathbb{F}$上的线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$和$\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$是$V$中的两个向量组，$\beta\in V$

1. 如果存在$p$个数$k_i\in \mathbb{F},i=1,2,...,p$，使得$\alpha_1k_1+\alpha_2k_2+···+\alpha_pk_p=\beta$，称向量$\beta$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$线性表示
2. 如果每个$\beta_j$都可以由向量组$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$线性表示，$j=1,2,...,q$。为了方便，$\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$可由$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$线性表示，用符号记为$\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}≤_{lin}\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}$

线性表示关系的传递性

设$V$是$\mathbb{F}$上的线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$；$\beta_1,\beta_2,...,\beta_q$；$\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t$是$V$中三个向量组。若

$$ \{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}\\ \{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}≤_{lin}\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t\} $$

则$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t\}$

证明：我们利用线性表示关系的矩阵表达。由存在$T\in \mathbb{F}^{q\times p},S\in \mathbb{F}^{t\times q}$满足

$$ [\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p]=[\beta_1,\beta_2,...,\beta_q]T\\ [\beta_1, \beta_2,...,\beta_q]=[\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t]S $$

得$[\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p]=[\gamma_1,\gamma_2,...,\gamma_t](ST)$。由于$ST\in \mathbb{F}^{t\times p}$得证

扁（列>行）的齐次线性方程组必有非零解

设$A\in \mathbb{F}^{m\times n},1≤m＜n$，则齐次线性方程组$Ax=0$必有非零解

$$ x=\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\in \mathbb{F}^n,\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\neq0 $$

这里，$m<n$，也就是方程的个数少于未知数的个数（不定方程），系数矩阵呈扁形

证明：对$m$用数学归纳法

1. $m=1$时，$n≥2$。根据$a_{11}$是否为0分两种情况

   1. 若$a_{11}=0$，则取$\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ \vdots \\0\end{bmatrix}$，易知其为一非零解
   2. 若$a_{11}\neq0$，由$n≥2$，可取$\begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{a_{12}}{a_{11}}\\ 0\\ \vdots \\0\end{bmatrix}$，易知这样取得$c$为一非零解

2. 假设$m≤p$时命题成立，下面证明$m=p+1$的情形，此时$n≥p+2$，同样根据$x_1$的系数，也就是系数矩阵$A$的第一列$\alpha_1=\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{p+1,1}\end{bmatrix}$是否为0分两种情况

   1. 若$\alpha_1=0$，则取$c=\begin{bmatrix}c_1\\ c_2 \\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\ 0\\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}$
   2. 若$\alpha_1\neq0$，不妨设$\alpha_{11}\neq0$，则有与$Ax=0$同解的线性方程组$\begin{bmatrix}a_{11} &a_{12}&\cdots &a_{1n} \\ 0 &0 & \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & a_{p+1,2}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{12} & \cdots & a_{p+1, n}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{1n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=0$，由归纳假设，如下$p$个方程，$n-1(≥p+1>p)$个未知数的线性方程组$\begin{bmatrix}a_{22}-\frac{a_{21}}{a_{11}}·a_{12} & \cdots & a_{2n}-\frac{a_{21}}{a_{11}}·a_{1n} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{p+1,2}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{12} & \cdots & a_{p+1,n}-\frac{a_{p+1,1}}{a_{11}}·a_{1n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=0$有非零解$\begin{bmatrix}x_2\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_2\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\neq 0$，再取$x_1=c_1=-\frac{1}{a_{11}}(a_{12}c_2+···+a_{1n}c_n)$，易知$\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1 \\ c_2\\ \vdots \\ c_n\end{bmatrix}\neq 0$是方程组$Ax=0$的非零解。证毕

线性表示与线性无关性

设$V$是$\mathbb{F}$上的线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$和$\beta_1, \beta_2,...,\beta_q$是$V$中两个向量组。若$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$线性无关，且$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_q\}$，则$p≤q$

证明：用反证法，假设$p<q$，由线性表示关系的矩阵表达可知，存在矩阵$T\in \mathbb{F}^{q\times p}$，使得

$$ \begin{bmatrix}\alpha_1 &\alpha_2 & \cdots & \alpha_p\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\beta_1 &\beta_2 & \cdots & \beta_q\end{bmatrix}T $$

因为扁的齐次方程组必有非零解，所以存在$c\in \mathbb{F}^p$非零，使得$Tc=0$。上述等式两边右乘$c$得

$$ \begin{bmatrix}\alpha_1 &\alpha_2 & \cdots & \alpha_p\end{bmatrix}c=\begin{bmatrix}\beta_1 &\beta_2 & \cdots & \beta_q\end{bmatrix}Tc=0 $$

因为$c\in \mathbb{F}^p$非零，此结论与$\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_p$线性无关矛盾，证毕

以少表多，多必相关

$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$与$\beta_1, \beta_2,...,\beta_s$是线性空间$V$中的两个向量组。若：

1. $\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$可由$\beta_1, \beta_2,...,\beta_s$线性表示
2. $r>s$

则$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$线性相关

证明：因为$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\}$，所以$\exists A\in \mathbb{F}^{s\times r}$，使得

$$ \begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_s\end{bmatrix}A $$

于是有$r(\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r\end{bmatrix})≤\min\{r(\begin{bmatrix}\beta_1 & \beta_2 & \cdots & \beta_s\end{bmatrix}), r(A)\}≤s<r$

即$r(\begin{bmatrix}\alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r\end{bmatrix})<r$，所以向量组$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$线性相关

推论：若$\{\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_r\}≤_{lin}\{\beta_1,\beta_2,...,\beta_s\}$，且$\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_r$线性无关，则$r≤s$