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Transformer中的Positional Encoding

July 7, 2020 • Read: 569 • Deep Learning阅读设置

最近我在学习Transformer结构的时候,发现其中的positional encoding很不好理解,尤其是其中的公式,为什么要这样设计,后来上网收集各种资料,方才理解,遂于此写一篇文章进行记录

首先你需要知道,Transformer是以字作为输入,将字进行字嵌入之后,再与位置嵌入进行相加(不是拼接,就是单纯的对应位置上的数值进行加和)

需要使用位置嵌入的原因也很简单,因为Transformer摈弃了RNN的结构,因此需要一个东西来标记各个字之间的时序or位置关系,而这个东西,就是位置嵌入

One possible solution to give the model some sense of order is to add a piece of information to each word about its position in the sentence. We call this “piece of information”, the positional encoding.

如果让我们从0开始设计一个Positional Encoding,比较容易想到的第一个方法是取[0,1]之间的数分配给每个字,其中0给第一个字,1给最后一个字,具体公式就是$PE=\frac{pos}{T-1}$。这样做的问题在于,假设在较短文本中任意两个字位置编码的差为0.0333,同时在某一个较长文本中也有两个字的位置编码的差是0.0333。假设较短文本总共30个字,那么较短文本中的这两个字其实是相邻的;假设较长文本总共90个字,那么较长文本中这两个字中间实际上隔了两个字。这显然是不合适的,因为相同的差值,在不同的句子中却不是同一个含义

另一个想法是线性的给每个时间步分配一个数字,也就是说,第一个单词被赋予1,第二个单词被赋予2,依此类推。这种方式也有很大的问题:1. 它比一般的字嵌入的数值要大,难免会抢了字嵌入的「风头」,对模型可能有一定的干扰;2. 最后一个字比第一个字大太多,和字嵌入合并后难免会出现特征在数值上的倾斜

理想的设计

理想情况下,位置嵌入的设计应该满足以下条件:

  • 它应该为每个字输出唯一的编码
  • 不同长度的句子之间,任何两个字之间的差值应该保持一致
  • 它的值应该是有界的

作者设计的位置嵌入满足以上的要求。首先,它不是一个数字,而是一个包含句子中特定位置信息的$d$维向量。其次,这种嵌入方式没有集成到模型中,相反,这个向量是用来给句子中的每个字提供位置信息的,换句话说,我们通过注入每个字位置信息的方式,增强了模型的输入(其实说白了就是将位置嵌入和字嵌入相加,然后作为输入

设$t$为一句话中的某个字的位置,$\vec{p_t} \in \mathbb{R}^d$表示位置$t$时刻这个词位置嵌入的向量,$\vec{p_t}$的定义如下

$$ \begin{align} \vec{p_t}^{(i)} = f(t)^{(i)} & := \begin{cases} \sin({\omega_k} . t), & \text{if}\ i = 2k \\ \cos({\omega_k} . t), & \text{if}\ i = 2k + 1 \end{cases} \end{align} $$

其中

$$ \omega_k = \frac{1}{10000^{2k / d}} $$

$k$​指的是位置嵌入中维度的下标,为了使得位置嵌入和字嵌入能够相加,因此位置嵌入维度和字嵌入的维度必须相同,所以$i\in [0, d)$,所以就有$k\in [0, \frac{d-1}{2})$

对于三角函数$y=Asin(Bx+C)+D$来说,周期是$\frac{2\pi}{B}$,频率为$\frac{B}{2\pi}$,因此B越大,频率值越大,一个周期内函数图像重复次数越多,波长越短(如果这里的数学知识忘了,可以看这篇文章

回到$\vec{p_t}$的定义中,$k$是越来越大的,因此$w_k$越来越小,所以$\frac{w_k}{2\pi}$也越来越小,于是频率随着向量维度下标的递增而递减,频率递减=周期变长。我们计算一下周期最小是$2\pi$($k=0$时),周期最大是$10000·2\pi$(假设$k=\frac{d}{2}$时)

你可以想象下$t$时刻字的位置编码$\vec{p_t}$是一个包含sin和cos函数的向量(假设$d$可以被2整除)

$$ \vec{p_t} = \begin{bmatrix} \sin({\omega_0}.t)\\ \cos({\omega_0}.t)\\ \\ \sin({\omega_1}.t)\\ \cos({\omega_1}.t)\\ \\ \vdots\\ \\ \sin({\omega_{\frac{d}{2}-1}}.t)\\ \cos({\omega_{\frac{d}{2}-1}}.t) \end{bmatrix}_{d \times 1} $$

直观展示

你可能想知道sin和cos的组合是如何表示位置信息的?这其实很简单,假设你想用二进制表示一个数字,你会怎么做?

$$ \begin{align} 0: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{0}} \ \ \color{green}{\texttt{0}} \ \ \color{blue}{\texttt{0}} \ \ \color{red}{\texttt{0}} & & 8: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{1}} \ \ \color{green}{\texttt{0}} \ \ \color{blue}{\texttt{0}} \ \ \color{red}{\texttt{0}} \\ 1: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{0}} \ \ \color{green}{\texttt{0}} \ \ \color{blue}{\texttt{0}} \ \ \color{red}{\texttt{1}} & & 9: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{1}} \ \ \color{green}{\texttt{0}} \ \ \color{blue}{\texttt{0}} \ \ \color{red}{\texttt{1}} \\ 2: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{0}} \ \ \color{green}{\texttt{0}} \ \ \color{blue}{\texttt{1}} \ \ \color{red}{\texttt{0}} & & 2: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{1}} \ \ \color{green}{\texttt{0}} \ \ \color{blue}{\texttt{1}} \ \ \color{red}{\texttt{0}} \\ 3: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{0}} \ \ \color{green}{\texttt{0}} \ \ \color{blue}{\texttt{1}} \ \ \color{red}{\texttt{1}} & & 11: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{1}} \ \ \color{green}{\texttt{0}} \ \ \color{blue}{\texttt{1}} \ \ \color{red}{\texttt{1}} \\ 4: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{0}} \ \ \color{green}{\texttt{1}} \ \ \color{blue}{\texttt{0}} \ \ \color{red}{\texttt{0}} & & 12: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{1}} \ \ \color{green}{\texttt{1}} \ \ \color{blue}{\texttt{0}} \ \ \color{red}{\texttt{0}} \\ 5: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{0}} \ \ \color{green}{\texttt{1}} \ \ \color{blue}{\texttt{0}} \ \ \color{red}{\texttt{1}} & & 13: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{1}} \ \ \color{green}{\texttt{1}} \ \ \color{blue}{\texttt{0}} \ \ \color{red}{\texttt{1}} \\ 6: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{0}} \ \ \color{green}{\texttt{1}} \ \ \color{blue}{\texttt{1}} \ \ \color{red}{\texttt{0}} & & 14: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{1}} \ \ \color{green}{\texttt{1}} \ \ \color{blue}{\texttt{1}} \ \ \color{red}{\texttt{0}} \\ 7: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{0}} \ \ \color{green}{\texttt{1}} \ \ \color{blue}{\texttt{1}} \ \ \color{red}{\texttt{1}} & & 15: \ \ \ \ \color{orange}{\texttt{1}} \ \ \color{green}{\texttt{1}} \ \ \color{blue}{\texttt{1}} \ \ \color{red}{\texttt{1}} \\ \end{align} $$

用二进制表示一个数字太浪费空间了,因此我们可以使用与之对应的连续函数——正弦函数

参考文献

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3 Comments
  1. 一只小白 一只小白

    解开了我对position encoding的困惑。有一点小建议:补充一下position encoding如何解决开篇提出的两个问题,逻辑感觉更严密

    1. mathor mathor

      @一只小白好的,这两天我再改改

  2. chrisL chrisL

    在任意时刻下的位置通过WT乘积送到sin/cos,在不同W下的频率实现不同数字编码,T记录时间步。也有一种解释,不同的频率本事就含有时间信息。博主好像最后没解释清楚最后如何表示这个position的。