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Batch Normalization

January 10, 2020 • Read: 331 • Deep Learning

Batch Normalization(批量归一化)是深度学习中经常用到的

我们知道Sigmoid函数在定义域为$(-\infty,-4) \cup (4,\infty)$内导数趋于0,由于容易出现梯度消失的现象,因此ReLU函数使用的较多

但在某些场合不可避免的要去使用Sigmoid函数,因此我们希望能把输入的$x$值控制在有效的区间内,进行一个等效变化,使这些值均匀的分布在0附近,这样输入到Sigmoid函数后就能大概率避免梯度消失

如下面左侧的图所示,$x_1$的值处于一个比较小的区间$x_2$的值处于一个比较大的区间,因此对于$w_2$来说,少量的变化就会对Loss产生急剧的变化,而对$w_1$来说,变化就会相对小一点,可以看下面的“等高线”图,沿着纵轴方向变化的话,等高线会急剧的变化,沿着横轴方向变化,等高线的变化就稍平缓一点

但如果如右图所示,输入的值区间都很接近,这样$w_1$和$w_2$对Loss的影响就比较接近,就会形成一种“圆形”路径,在这种情况进行搜索的时候,不管从哪个点出发,梯度的方向都是指向全局最小解的方向,这种搜索过程会比较快一些,而且更稳定

Batch Normalization较多的应用于两个方面

  1. Image Normalization,例如对RGB三通道进行Normalization,将数据进行统一缩放
normalize = transforms.Normalize(mean=ean[0.485, 0.456, 0.406],
                                 std=[0.229, 0.224, 0.225])

mean有三个值,分别对应RGB三个通道的均值,具体的Normalize过程就是

$$ \begin{align*} x_R&= \frac{x_R-0.485}{0.229} \\ x_G&= \frac{x_G-0.456}{0.224} \\ x_B&= \frac{x_B-0.406}{0.225} \\ \end{align*} $$

  1. Batch Normalization
    Batch Normalization现在有四种用法


假设一张图片有3个channel,长28,宽28,假设一个batch有6张图片,那么一个Batch的数据就是[6, 3, 28, 28],这里我们把28和28合并起来,就变成一个三维的矩阵[6, 3, 784]

在最左侧图中,它是对6和784进行normalize,因为有3个channel,所以[6, 3, 784]就变成了[3],而3个位置上的值,分别表示channel0的均值,channel1的均值,channel2的均值

同理,后面的Layer Norm就由[6, 3, 784]变成了[6]

第三个图是在样本N和通道C两个维度上滑动,对Batch中的N个样本里的每个样本n,和C个通道里的每个通道c,组合起来[n,c]求对应的所有值得均值和方差,所以得到的是$n\times C$个均值和方差

详述Batch Normalization

如下图,输入数据是6张3通道784个像素点的数据,将其分到三个通道上,在每个通道上也就是[6,784]的数据,然后分别得到和通道数一样多的统计数据均值$\mu$和标准差$\sigma$。将每个像素值减去$\mu$,除以$\sigma$就变换成了近似于$N(0,1)$分布的数据,之后再用参数$\gamma$和$\beta$将其变化到近似$N(\beta, \gamma)$的分布


$\mu$和$\sigma$只是样本中的统计数据,是没有梯度信息的,不过会保存在运行参数里。而$\gamma$和$\beta$属于训练的参数,是有梯度信息的

Batch Normalize的规范化写法为

前三步是batch normalization的工序,经过这三步以后数据就近似于标准正态分布$N(0,1)$,但是后面的公式还有一个反向操作,将normalize后的数据再平移和扩展,让数据近似于$N(\beta, \gamma)$,这位为了让神经网络自己去学着使用和修改这两个扩展参数,这样神经网络就能自己慢慢琢磨出前面的normalization操作到底有没有起到优化的做哟个,如果没有起到优化的作用,就用$\gamma$和$\beta$来抵消一些normalization的操作

下面具体看一下在PyTorch中如何实现Batch Normalize

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F

# 随机生成一个Batch的模拟,100张16通道784像素点的数据
# 均匀分布U(0~1)
x = torch.rand(128, 16, 784)
# 将28*28变为打平为一维的784
layer = nn.BatchNorm1d(16)
# Batch Normalization层,因为输入是将高度H和宽度W合成了一个维度,所以这里用1d
# 因为Batch Norm的参数直接是由channel数量得来的,因此这里直接给定了channel的数量为16,后续会输出16个channel的统计信息
out = layer(x) # f orward

print(out.shape)
print(layer.running_mean) # 全局的均值
print(layer.running_var) # 全局的方差

运行结果

tensor([0.0500, 0.0498, 0.0499, 0.0501, 0.0500, 0.0502, 0.0500, 0.0500, 0.0500,
        0.0500, 0.0499, 0.0501, 0.0500, 0.0499, 0.0499, 0.0502])
tensor([0.9084, 0.9084, 0.9083, 0.9084, 0.9084, 0.9083, 0.9083, 0.9083, 0.9083,
        0.9083, 0.9084, 0.9084, 0.9083, 0.9083, 0.9083, 0.9083])

注意layer.running_meanlayer.running_var得到的是全局的均值和方差,不是当前Batch上的,只不过这里只跑了一个Batch而已所以它就是这个Batch上的。现在还没有办法直接查看某个Batch上的这两个统计量的值

x = torch.randn(1, 16, 7, 7)  # 1张16通道的7乘7的图像

# Batch Normalization层,因为输入是有高度H和宽度W的,所以这里用2d
layer = nn.BatchNorm2d(16)  # 传入通道数
out = layer(x)

print(out.shape)
print(layer.running_mean)  # 全局的均值
print(layer.running_var)  # 全局的方差
print(layer.weight)  # weight也就是前面公式里的gamma
print(layer.bias)  # bias也就是前面公式里的beta

运行结果

torch.Size([1, 16, 7, 7])
tensor([ 0.0187,  0.0125, -0.0032,  0.0032,  0.0034,  0.0031,  0.0231, -0.0024,
         0.0002,  0.0194, -0.0097,  0.0177,  0.0324, -0.0013,  0.0128, -0.0086])
tensor([0.9825, 0.9799, 0.9984, 0.9895, 0.9992, 0.9809, 0.9919, 0.9769, 0.9928,
        0.9949, 1.0055, 1.0368, 0.9867, 0.9904, 1.0097, 0.9910])
Parameter containing:
tensor([0.5925, 0.5662, 0.1066, 0.0073, 0.9517, 0.0476, 0.0416, 0.2041, 0.8666,
        0.6467, 0.7665, 0.0300, 0.9050, 0.8024, 0.2816, 0.1745],
       requires_grad=True)
Parameter containing:
tensor([0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0., 0.],
       requires_grad=True)

注意这里的layer.weightlayer.bias是当前batch上的

如果在定义层时使用了参数affine=False,那么就是固定$\gamma = 1$和$\beta=0$不自动学习,这时参数layer.weightlayer.bias将是None

总结

使用了$\gamma$和$\beta$之后,最后得到的分布是往$N(\beta, \gamma)$上靠的,而不是往$N(0, 1)$上靠的

使用了Batch Normalization让Converge(收敛)的速度加快了,这个可以直观理解,使用了靠近0的部分的Sigmoid激活,其梯度信息更大了。并且能够得到一个更好的解

提升了Robust(鲁棒性),这使得网络更加稳定,这可以从最前面第二张图所示来直观理解,如果参数有大有小,解空间像左边一样,那么稍微调整学习率可能就发生抖动(如图中左侧椭圆解空间上下方向走,且学习率太大时)或者训练速度太慢(如图中右侧椭圆解空间左右方向走,且学习率太小时)。这让超参数的调整没有那么敏感

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