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第九届蓝桥杯Java B——测试次数

March 22, 2019 • Read: 291 • 算法

x星球的居民脾气不太好,但好在他们生气的时候唯一的异常举动是:摔手机。
各大厂商也就纷纷推出各种耐摔型手机。x星球的质监局规定了手机必须经过耐摔测试,并且评定出一个耐摔指数来,之后才允许上市流通。

x星球有很多高耸入云的高塔,刚好可以用来做耐摔测试。塔的每一层高度都是一样的,与地球上稍有不同的是,他们的第一层不是地面,而是相当于我们的2楼。

如果手机从第7层扔下去没摔坏,但第8层摔坏了,则手机耐摔指数=7。
特别地,如果手机从第1层扔下去就坏了,则耐摔指数=0。
如果到了塔的最高层第n层扔没摔坏,则耐摔指数=n

为了减少测试次数,从每个厂家抽样3部手机参加测试。

某次测试的塔高为1000层,如果我们总是采用最佳策略,在最坏的运气下最多需要测试多少次才能确定手机的耐摔指数呢?

请填写这个最多测试次数


我们把$M$层楼 / $N$个手机的问题转化成一个函数$F(M,N)$,其中楼层数$M$和手机数$N$是函数的两个参数,而函数的值则是最优解的最大尝试次数

假设我们第一个手机扔出的位置在第$X\ (1 \leq X \leq M)$层,会出现两种情况

  1. 第一个手机没碎,那么剩余的$M-X$层楼,剩余$N$个手机,可以转变为函数:$F(M-X,N)+ 1,1\leq X\leq M$
  2. 第一个手机碎了,那么只剩下从$1$层到$X-1$层楼需要尝试,剩余的手机数量是$N-1$,可以转变为函数:$F(X-1,N-1) + 1,1\leq X\leq M$

整体而言,我们要求出的是$M$层楼 / $N$个手机的条件下,最大尝试次数最小的解,所以这个题目的状态转移方程式如下:

$$ F(M,N) = Min(Max(F(M-X,N) + 1,F(X-1,N-1) + 1)),1\leq X\leq M $$

根据动态规划状态转移方程是和自底向上的求解思路,我们需要从1个手机1层楼的最优尝试次数,一步一步推导后续的状态,直到计算出3个手机4层楼的尝试次数为止

首先我们可以填充第一个手机在各个楼层的尝试次数,以及任意多手机在1层楼的尝试次数

2个手机2层楼的情况就需要带入状态转移方程式了

$$ F(2,2) = Min(Max(F(2-X,2) + 1,F(X-1,2-1) + 1)),1\leq X\leq 2 $$

因为$X$的取值是1和2,我们需要对$X$的值逐一来尝试,计算过程就不展示了,给出结果是$F(2,2)=2$

接下来我们看一看2个手机3层楼的情况:

$$ F(2,3) = Min(Max(F(3-X,2) + 1, F(X-1,2-1) + 1)),1\leq X\leq 3 $$

同理,按照上面的方式,将这个表格填满

最后给出代码

public class Main {

    static int getMinSteps(int num, int floorNum) {
        if (num < 1 || floorNum < 1)
            return 0;
        
        // 备忘录,存储num个手机,floorNum层楼条件下的最优化尝试次数
        int[][] cache = new int[num + 1][floorNum + 1];
        // 把备忘录每个元素初始化成最大的尝试次数
        for (int i = 1; i <= num; i++)
            for (int j = 1; j <= floorNum; j++)
                cache[i][j] = j;

        for (int n = 2; n <= num; n++)
            for (int m = 1; m <= floorNum; m++)
                for (int k = 1; k < m; k++)
                    // 扔手机的楼层从1到m枚举一遍,如果当前算出的尝试次数小于上一次算出的尝试次数,则取代上一次的尝试次数。
                    cache[n][m] = Math.min(cache[n][m], 1 + Math.max(cache[n - 1][k - 1], cache[n][m - k]));

        return cache[num][floorNum];
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(getMinSteps(3, 1000));
    }
}
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