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线段树例题

January 10, 2019 • Read: 1105 • 算法

HDU 1754


线段树板子题,结构体存保存的是左右端点以及这个区间内的最大值

建树的过程其实是一个后序遍历的过程,先建立左子树然后右子树,根节点的最大值就是max(左孩子的最大值,右孩子的最大值)

修改类似,更新当前节点的最大值为max(value, 当前节点的最大值)

查询的时候用一个全局变量记录,每次查找到对应区间,就更新全局变量res = max(res, 当前区间的最大值)

Java会爆空间,只能用c做

#include <stdio.h>
#define Max 200001
struct data {
    int l, r, max;
}node[4 * Max];

int score[Max];
int res;
int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}

void make(int l, int r, int idx) {
    node[idx].l = l;
    node[idx].r = r;
    if (l == r) 
        node[idx].max = score[l];
    else {
        make(l, (l + r) >> 1, (idx << 1) + 1);
        make(((l + r) >> 1) + 1, r, (idx << 1) + 2);
        node[idx].max = max(node[(idx << 1) + 1].max, node[(idx << 1) + 2].max);
    }
}

void update(int i, int value, int idx) {
    node[idx].max = max(value, node[idx].max);
    if (node[idx].l == node[idx].r)
        return;
    if (i <= (node[idx].l + node[idx].r) >> 1) // 左子树 
        update(i, value, (idx << 1) + 1);
    else // 右子树 
        update(i, value, (idx << 1) + 2);
}

void query(int l, int r, int idx) {
    if (l <= node[idx].l && r >= node[idx].r)
        res = max(res, node[idx].max);
    else {
        int mid = (node[idx].l + node[idx].r) >> 1;
        if (r <= mid)
            query(l, r, (idx << 1) + 1);
        else if (l > mid)
            query(l, r, (idx << 1) + 2);
        else {
            query(l, r, (idx << 1) + 1);
            query(l, r, (idx << 1) + 2);
        }
    }
}

int main() {
    int N,M;
    while(scanf("%d%d",&N,&M) != EOF) {
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            scanf("%d",&score[i]);
        getchar();
        char c;
        int s,e;
        make(1,N,0);
        for (int i = 0; i < M; i++) {
            scanf("%c%d%d",&c,&s,&e);
            getchar();
            if (c == 'U')
                update(s,e,0);
            if (c == 'Q') {
                res = -1;
                query(s,e,0);
                printf("%d\n",res);
            }     
        }
    }
    return 0;
}

POJ 3468


题目大意是说给你一个数列A,有两种操作,一是将第a到b的数都加上c,二是询问a到b之间所有数的和

这是线段树的一种进阶应用——区间更新,区间查询

区间更新是指更新某个区间内的叶子节点的值,因为涉及到的叶子节点不止一个,而叶子节点会影响其非叶的父节点,那么回溯需要更新的非叶节点也会有很多,如果一次性更新完,操作的时间复杂度肯定不止O(logn),例如当我们更新区间[1,7]内的值,就需要更新下图所示标红的所有节点

为此引入线段树的延迟标记概念,也叫lazy tag

延迟标记:节点结构体中新增一个标记,记录这个节点是否会进行某种修改,对于任意区间的修改,我们先按照区间查询的方式将其划分成线段树中的节点,然后修改这些节点的信息,并给这些节点打上标记。在修改和查询的时候,如果我们到了一个节点P,并且要继续查看其子节点,那么我们就要看看节点P是否被标记,如果有,则需要按照其标记首先修改子节点的信息,并且给子节点都打上相同的标记,同时取消节点P的标记,这一操作称为标记下放,也叫pushDown

可以这么理解,假设爷爷要给两个孙女压岁钱,所以爷爷就先把总的压岁钱给自己的儿子,让儿子给女儿
,但是儿子觉得自己的女儿还太小了,暂时用不到,于是就先保存着。突然有一天爷爷准备要问孙女拿到压岁钱了没有,此时爸爸着急了,就赶紧把压岁钱给了女儿

具体在update函数中的操作就是,如果当前更新的区间为[l,r],我走到节点P对应的区间是[curl,curr],如果$[curl,curr] \in [l,r]$,那就先更新当前节点P,然后给P打上标记,P的子节点就不管了,直接return,如果以后进行查询或者更新操作的时候,发现当前节点有标记,才将标记下放

除了pushDown,还需要pushUp,pushDown的作用是将标记下放,而pushUp的作用是更新根节点的信息,因为子节点值改变了,根节点也会变,所以必须要更新根节点的信息

import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    static Node[] n;
    static long[] t;
    static long SUM;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(new InputStreamReader(System.in));
        int N = cin.nextInt();
        int M = cin.nextInt();
        n = new Node[4 * N];
        t = new long[N + 1];
        for (int i = 1; i <= N; i++)
            t[i] = cin.nextLong();
        make(1, N, 0);
        for (int i = 0; i < M; i++) {
            String op = cin.next();
            int a = cin.nextInt();
            int b = cin.nextInt();
            if ("Q".equals(op)) {
                SUM = 0;
                query(a, b, 0);
                System.out.println(SUM);
            } else { // "C".equals(op)
                int c = cin.nextInt();
                update(a, b, c, 0);
            }
        }
    }

    static void update(int l, int r, int c, int idx) {
        if (l <= n[idx].l && r >= n[idx].r) {
            n[idx].sum += (n[idx].r - n[idx].l + 1) * c;
            n[idx].inc += c;
            return;
        }
        if (n[idx].inc != 0)
            pushDown(idx);
        int mid = (n[idx].l + n[idx].r) >> 1;
        if (r <= mid)
            update(l, r, c, (idx << 1) | 1);
        else if (l > mid)
            update(l, r, c, (idx << 1) + 2);
        else {
            update(l, r, c, (idx << 1) | 1);
            update(l, r, c, (idx << 1) + 2);
        }
        pushUp(idx);
    }

    static void pushDown(int idx) {
        int mid = (n[idx].l + n[idx].r) >> 1;
        n[(idx << 1) | 1].sum += (mid - n[idx].l + 1) * n[idx].inc;
        n[(idx << 1) + 2].sum += (n[idx].r - mid) * n[idx].inc;
        n[(idx << 1) | 1].inc += n[idx].inc;
        n[(idx << 1) + 2].inc += n[idx].inc;
        n[idx].inc = 0;
    }

    static void query(int l, int r, int idx) {
        if (l <= n[idx].l && r >= n[idx].r)
            SUM += n[idx].sum;
        else {
            if (n[idx].inc != 0)
                pushDown(idx);
            int mid = (n[idx].l + n[idx].r) >> 1;
            if (r <= mid)
                query(l, r, (idx << 1) | 1);
            else if (l > mid)
                query(l, r, (idx << 1) + 2);
            else {
                query(l, r, (idx << 1) | 1);
                query(l, r, (idx << 1) + 2);
            }
        }
    }

    static void make(int l, int r, int idx) {
        n[idx] = new Node();
        n[idx].l = l;
        n[idx].r = r;
        if (l == r)
            n[idx].sum = t[r];
        else {
            make(l, (l + r) >> 1, (idx << 1) | 1); // 左子树
            make(((l + r) >> 1) + 1, r, (idx << 1) + 2); // 右子树
            pushUp(idx);
        }
    }

    static void pushUp(int idx) {
        n[idx].sum = n[(idx << 1) | 1].sum + n[(idx << 1) + 2].sum;
    }
}

class Node {
    int l, r;
    long sum;
    long inc;
}

类似的线段树区间更新题目还有CDOJ 秋实大哥与花

POJ 2528


题目大意,有一面墙,被等分成1千万份。现在往墙上贴N张海报,每张海报的宽度是任意的(必定是整数,且小于1千万)。后贴的海报若与先贴的海报有交集,后贴的海报就会全部或局部覆盖先贴的海报,现在给出每张海报所贴的位置(左端点和右端点),问贴完N张海报后,还能看见多少张海报(看见一部分也算看到)

这是一道区间压缩映射(离散化)线段树问题,首先抽象问题:给定一条数轴,长度为1千万,然后在数轴上的某些区间贴海报,第i次对区间贴的海报为i,给出每次贴海报的区间,问最后能看见都少张海报

这道题单纯用线段树去求解需要建立一棵[1,1千万]的线段树,MLE是铁定的,所以必须离散化

通俗点说,离散化就是压缩区间,使原有的长区间映射到新的短区间,但是区间压缩前后的覆盖关系不变。举个例子:

有一条1到10的数轴,长度为9,给定4个区间[2,4] [3,6] [8,10] [6,9],后者覆盖前者,每个区间编号依次为1 2 3 4

现在我们抽取这4个区间的8个端点 2 4 3 6 8 10 6 9,删除重复的端点,对其升序排序得2 3 4 6 8 9 10,然后建立映射

23468910
1234567

那么新的4个区间为[1,3] [2,4] [5,7] [4,6],覆盖关系也没有改变,新数轴为1到7

这就完了吗,这样做真的对吗?考虑一组数据,假如三张海报的区间为[1,10] [1,4] [6,10],离散化后x[1]=1,x[2]=4,x[3]=6,x[4]=10

放第一张海报时:墙的1-4标记为1
放第二张海报时:墙的1-2被标记为2,3-4仍为1
放第三张海报时:墙的3-4被标记为3,1-2仍为2

最终,第一张海报就被完全覆盖了,于是输出2,但实际上正确输出应该为3

争取的离散方法是:在相差大于1的数间加一个数,例如在上面1 4 6 10中间加5

x[1]=1,x[2]=4,x[3]=5,x[4]=6,x[5]=10

这样之后,第一次是1-5变成1,第二次1-2变成2,第三次4-5变成3

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;
int n;
struct CPost { // 海报
    int l,r;
} posters[10100];
int x[20200]; // 海报的端点瓷砖编号
int hashArr[10000010]; // hashArr[i]表示瓷砖i所处的离散化后区间编号

struct CNode {
    int l,r;
    bool bCovered; // 区间[l,r]是否被完全覆盖
    CNode *pLeft, *pRight; 
} Tree[1000000];
int nNodeCount = 0; // 记录线段树结点数 
int mid(CNode *pRoot) {
    return (pRoot->l + pRoot->r) >> 1;
} 
void buildTree(CNode *pRoot, int l, int r) {
    pRoot->l = l;
    pRoot->r = r;
    pRoot->bCovered = false;
    if (l == r)
        return;
    nNodeCount++;
    pRoot->pLeft = Tree + nNodeCount;
    nNodeCount++;
    pRoot->pRight = Tree + nNodeCount;
    buildTree(pRoot->pLeft, l, (l + r) >> 1);
    buildTree(pRoot->pRight, ((l +r) >> 1) + 1, r);
}
bool post(CNode *pRoot, int l, int r) {
    if (pRoot->bCovered)
        return false;
    if (pRoot->l == l && pRoot->r == r) {
        pRoot->bCovered = true;
        return true;
    }
    bool result;
    if (r <= mid(pRoot))
        result = post(pRoot->pLeft, l, r);
    else if (l > mid(pRoot))
        result = post(pRoot->pRight, l, r);
    else {
        bool b1 = post(pRoot->pLeft, l, mid(pRoot));
        bool b2 = post(pRoot->pRight, mid(pRoot) + 1, r);
        result = b1 || b2;
    }
    if (pRoot->pLeft->bCovered && pRoot->pRight->bCovered)
        pRoot->bCovered = true;
    return result;
}

int main() {
    int t,i,j,k;
    scanf("%d",&t);
    int nCaseNo = 0;
    while (t--) {
        nCaseNo++;
        scanf("%d",&n);
        int nCount = 0; // 记录海报端点数 
        for (i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d%d", &posters[i].l, &posters[i].r);
            x[nCount++] = posters[i].l;
            x[nCount++] = posters[i].r;
        }
        sort(x, x + nCount);
        nCount = unique(x, x + nCount) - x; // 去重
        // 离散化
        int nlntervalNo = 0;
        for (i = 0; i < nCount; i++) {
            hashArr[x[i]] = nlntervalNo;
            if (i < nCount - 1) {
                if (x[i + 1] - x[i] == 1)
                    nlntervalNo++;
                else
                    nlntervalNo += 2;
            }
        } 
        buildTree(Tree, 0, nlntervalNo);
        int nSum = 0;
        for (i = n - 1; i >= 0; i--) {
            if (post(Tree, hashArr[posters[i].l], hashArr[posters[i].r]))
                nSum++;
        }
        printf("%d\n",nSum);
    }
    return 0;
}

HDU 1698


题目大意是说:整个区间内点的初始值是1,有m次操作,将l到r区间的值改为val

简单的线段树区间更新区间查询问题,注意这里是更新,不是累加累减,因此前面的修改对后面的修改不具有传递性或者相关性,因此在传递lazy标记的时候,不能用+=,而应该是=

import java.util.*;

public class segmentTree {
    static Node[] node;
    static int SUM;

    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int T = cin.nextInt();
        for (int p = 1; p <= T; p++) {
            int n = cin.nextInt();
            node = new Node[n << 2];
            make(1, n, 0);
            int m = cin.nextInt();
            for (int i = 0; i < m; i++) {
                int l = cin.nextInt();
                int r = cin.nextInt();
                int val = cin.nextInt();
                update(l, r, val, 0);
            }
            SUM = 0;
            query(1, n, 0);
            System.out.println("Case " + p + ": The total value of the hook is " + SUM + ".");
        }
    }

    static void query(int l, int r, int idx) {
        if (l <= node[idx].l && r >= node[idx].r)
            SUM += node[idx].sum;
        else {
            if (node[idx].inc != 0)
                pushDown(idx);
            int mid = (node[idx].l + node[idx].r) >> 1;
            if (r <= mid)
                query(l, r, (idx << 1) | 1);
            else if (l > mid)
                query(l, r, (idx << 1) + 2);
            else {
                query(l, r, (idx << 1) | 1);
                query(l, r, (idx << 1) + 2);
            }
        }
    }

    static void update(int l, int r, int val, int idx) {
        if (l <= node[idx].l && r >= node[idx].r) {
            node[idx].sum = (node[idx].r - node[idx].l + 1) * val;
            node[idx].inc = val;
        }
        else {
            if (node[idx].inc != 0)
                pushDown(idx);
            int mid = (node[idx].l + node[idx].r) >> 1;
            if (r <= mid)
                update(l, r, val, (idx << 1) | 1);
            else if (l > mid)
                update(l, r, val, (idx << 1) + 2);
            else {
                update(l, r, val, (idx << 1) | 1);
                update(l, r, val, (idx << 1) + 2);
            }
            pushUp(idx);
        }
    }

    static void pushDown(int idx) {
        int val = node[idx].inc;
        int mid = (node[idx].l + node[idx].r) >> 1;
        node[(idx << 1) | 1].sum = (mid - node[(idx << 1) | 1].l + 1) * val;
        node[(idx << 1) + 2].sum = (node[(idx << 1) + 2].r - mid) * val;
        node[(idx << 1) | 1].inc = val;
        node[(idx << 1) + 2].inc = val;
        node[idx].inc = 0;
    }

    static void make(int l, int r, int idx) {
        node[idx] = new Node(l, r);
        if (l == r)
            node[idx].sum = 1;
        else {
            int mid = (node[idx].l + node[idx].r) >> 1;
            make(l, mid, (idx << 1) | 1);
            make(mid + 1, r, (idx << 1) + 2);
            pushUp(idx);
        }
    }

    static void pushUp(int idx) {
        node[idx].sum = node[(idx << 1) | 1].sum + node[(idx << 1) + 2].sum;
    }
}

class Node {
    int l, r, sum, inc;

    Node(int l, int r) {
        this.l = l;
        this.r = r;
    }
}
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已有 2 条评论
  1. c c

    在相差大于 1 的数间加一个数,例如在上面 1 4 6 10 中间加 5 这个不太理解欸
    还有可不可以讲解一下天际线问题,用Java答题啊

  2. c c

    求大神回复啊@(哈哈)