ST 算法与 LCA

RMQ 问题展开目录

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询。对于长度为 n 的数列 arr，回答若干询问 Q (i,j)，返回数列 arr 中下标在 i,j 之间的最大 / 小值。如果只有一次询问，那一遍 for 就可以搞定，但是如果有多次询问就无法在很快的时间处理出来。

ST 算法展开目录

ST 算法是一个在线算法，它可以在 O (nlogn) 时间内进行预处理，然后在 O (1) 的时间内回答每个查询，假设现在的数组为 arr [] = {1,3,6,7,4,2,5,9}，算法步骤如下：

一、预处理（以处理区间最小值为例）展开目录

$dp [i][j]$ 表示从第 i 位开始连续 $2^j$ 个数（也就是到 $i+2^j-1$）中的最小值。例如 $dp [2][1]$ 表示从第 2 个数开始，连续 2 个数的最小值，即 3,6 之间的最小值，即 $dp [2][1]=3$，从 dp 数组的含义我们就知道，$dp [i][0]=arr [i]$（下标均是从 1 开始），初值有了，剩下的就是状态转移方程。首先把 $dp [i][j]$ 平均分成两段（因为一定是偶数个数字），从 i 到 $i+2^{j-1}-1$ 为一段，$i+2 {j-1}$ 到 $i+2^j-1$ 为一段（每段长度都为 $2^{j-1}$）。假设 i=1,j=3 时就是 1,3,6,7 和 4,2,5,9 这两段。$dp [i][j]$ 就是这两段最大值的最大值。于是得到了状态转移方程式 $dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i+2^{j-1}][j-1])$

for(int i = 1;i <= n;i++)
    dp[i][0] = arr[i];
for(int j = 1;(1 << j) <= n;j++)
    for(int i = 1;i + (1 << j) - 1 <= n;i++)
        dp[i][j] = Math.min(dp[i][j-1],dp[i + (1<<(j - 1))][j-1]);

二、查询展开目录

假设我们需要查询区间 [L,R] 中的最小值，令 $k=log_2 (R-L+1)$，则区间 [L,R] 的最小值 $res=min (dp [L][k],dp [R-(1<<k)+1][k])$，为什么这样就可以保证区间最值？dpL 维护的是 $[L,L+2^k-1]$，$dp [L][R - 2^k+1][k]$ 维护的是 $[R-2^k+1,R]$，因此只要证明 $R-2^k+1 ≤ l+2^k-1$ 即可，这里证明省略

int k = (int) (Math.log(r - l + 1) / Math.log(2));
int min = Math.min(dp_min[l][k],dp_min[r - (1 << k) + 1][k]);

举个栗子展开目录

$L=4,R=6$，此时 $k=log_2 (R-L+1)=log_23=1$，所以 $RMQ (4,6)=min (dp [4][1],dp [5][1])=min (4,2)=2$，很容易看出来答案是正确的

题目链接：POJ3264展开目录

ST 算法板子题，用 java 的同学要注意的就是把你所有会的输入输出优化全用上，不然会 TLE

import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Scanner;

public class CF522A {
    final static int N = 50005;
    static int[][] dp_min = new int[N][25];
    static int[][] dp_max = new int[N][25];

    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(new InputStreamReader(System.in));
        int n = Integer.parseInt(cin.next());
        int m = Integer.parseInt(cin.next());        
        for(int i = 1;i <= n;i++) {
            int tmp = cin.nextInt();
            dp_min[i][0] = tmp;
            dp_max[i][0] = tmp;
        }
        //预处理
        for(int j = 1;(1 << j) <= n;j++)
            for(int i = 1;i + (1 << j) <= n + 1;i++) {
                dp_min[i][j] = Math.min(dp_min[i][j - 1],dp_min[i + (1 << j - 1)][j - 1]);//加减优先级高于位运算
                dp_max[i][j] = Math.max(dp_max[i][j - 1],dp_max[i + (1 << j - 1)][j - 1]);
            }
    
        while((m--) != 0) {
            int l = Integer.parseInt(cin.next());
            int r = Integer.parseInt(cin.next());
            int k = (int) (Math.log(r - l + 1) / Math.log(2));
            int min = Math.min(dp_min[l][k],dp_min[r - (1 << k) + 1][k]);
            int max = Math.max(dp_max[l][k],dp_max[r - (1 << k) + 1][k]);
            System.out.println(max - min);
        }
    }
}

LCA展开目录

求 LCA（最近公共祖先）的算法有好多种，按在线和离线分为在线算法和离线算法，离线算法有基于搜索的 Tarjan 算法，而在线算法则是基于 DP 的 ST 算法。首先给定一棵树
通过深搜，可以得到这样的一个序列：

数组下标：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
遍历顺序： A B D B E F E G E B A C A

结点在树中的深度：1 2 3 2 3 4 3 4 3 2 1 2 1

要查询 D 和 G 的 LCA：

1. 在遍历序列中找到 D 和 G 第一次出现的位置，first [D]=3，first [G]=8（3，8 指数组下标）
2. 取深度数组的 [3,8] 那一段序列，查询一个最小值 min (3,2,3,4,3,4)=2，对应遍历数组中的结点是 B，所以 D,G 的 LCA 是 B

#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,s,tot = 0,cnt = 0;
//vis[i]:dfs第i个访问的结点
//r[i]:vis[i]所在的层数
//fir[i]:vis[i]第一次出现的下标
int head[1000100],nxt[1000100],to[1000100];
int fir[1000100],vis[1000100],r[1000100];
int f[20][1000100],rec[20][1000100];
void addEdge(int x,int y) {
    cnt++;
    nxt[cnt] = head[x];
    head[x] = cnt;
    to[cnt] = y;
}
void dfs(int u,int dep) {//dfs处理出三个数组 
    fir[u] = ++tot,vis[tot] = u,r[tot] = dep;
    for(int i = head[u];i != -1;i = nxt[i]) {
        int v = to[i];
        if(!fir[v]) {
            dfs(v,dep + 1);
            vis[++tot] = u,r[tot] = dep;
        }
    }
}
int main() {
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i = 1;i < n;i++) {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        addEdge(x,y);
        addEdge(y,x);
    }
    dfs(s,1);
    //ST表求RMQ
    for(int i = 1;i <= tot;i++)
        f[0][i] = r[i],rec[0][i] = vis[i];
    for(int i = 1;(1 << i) <= tot;i++)
        for(int j = 1;j + (1 << i) <= tot + 1;j++)
            if(f[i - 1][j] < f[i - 1][j + (1 << (i - 1))])
                f[i][j] = f[i - 1][j],rec[i][j] = rec[i - 1][j];
            else 
                f[i][j] = f[i - 1][j + (1 << (i - 1))],rec[i][j] = rec[i - 1][j + (1 << (i - 1))];
    //rec记录的是区间内深度最小值的编号
    for(int i = 1;i <= m;i++) {
        int l,r,k = 0;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        l = fir[l],r = fir[r];
        if(l > r) 
            swap(l,r);
        while((1 << k) <= r - l + 1) 
            k++;
        k--;
        if(f[k][l] < f[k][r - (1 << k) + 1]) 
            printf("%d\n",rec[k][l]);
        else 
            printf("%d\n",rec[k][r - (1 << k) + 1]);
    }
    return 0;
}