位运算简介
这里我假设读者有二进制的思维，知道$(3)_{10}=(011)_2$将十进制转换为二进制的方法
- &(与)、|(或)、^(异或)、~(非/取反)
- >>和<<运算符将二进制位进行右移或者左移操作
- >>>运算符将用0填充高位；>>运算符用符号位填充高位，没有<<<运算符
- 对于int型，1<<35与1<<3是相同的，左边的操作数是int的时需对右侧操作数模32，而左边的操作数是long型时需对右侧操作数模64
关于上面的说明，这里还是补充一下，因为并不是所有人都了解位运算
<<的运算规则：按二进制形式把所有的数字向左移动对应的位数，高位移出（舍弃），低位的空位补零。以3<<2为例，首先把3转换为二进制数字0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0011（int型是4个字节，1个字节8位，所以int是32位），然后将上面的二进制数字向左移动2位后面补0得到0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1100
在数字没有溢出的前提下，对于正数和负数，左移一位都相当于乘以2的1次方，左移n位就相当于乘以$2^n$
>>的运算规则：按二进制形式把所有的数字向右移动对应位数，低为移出（舍弃），高位的空位补符号位，即正数补零，负数补1.以11>>2为例，首先把11转换为二进制数字0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1011，然后把低位的两个数字移出，因为该数字是正数，所以在高位补零，则得到的最终结果是0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010
右移一位相当于除以2，右移n位相当于除以$2^n$
>>>运算规则：和>>大致相同，区别在于不论是正数还是负数，高位都补零
位运算的奇巧淫技
- 判断奇偶位（x & 1 == 1?奇:偶）
- 获取二进制位是1还是0
- 交换两个整数变量的值（t = a ^ b;a ^= t;b ^= t;）
- 不用判断语句，求整数的绝对值(a ^ (a >> 31)) + (a >>> 31)
- 结合律 (a^b)^c==a^(b^c)
- 对于任何数x，都有x^x=0，x^0=x，同自己求异或为0，同0求异或为自己
- 自反性a^b^b=a^0=a,连续和同一个因子做异或，最终结果为自己
题1：找出唯一成对的数
1-1000这1000个数放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素重复，其它均只出现一次，每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来，不用辅助存储空间
题解
位运算总共就那么几条性质，假设一个数组中的值分别是1,2,3,4,2，2是重复的元素，那么应该怎么把它挑出来呢，最开始想到的方法肯定是两重循环枚举，时间复杂度是O($n^2$)，不太好，想想怎么用位运算解决这道题，根据a^a=0,a^0=a这两条性质，我们可以把数组中的元素全部异或起来，然后再异或一遍不重复的所有元素，就是(1^2^3^4^2)^(1^2^3^4)，这样把它们凑起来，最后结果就应该是2^2^2=2^0=2，正好是要找的重复元素
代码
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner cin = new Scanner(System.in);
int n = 1001,sum1 = 0,sum2 = 0;
int[] arr = new int[n];
for(int i = 0;i < n - 1;i++) {
arr[i] = i + 1;
sum1 ^= arr[i];
}
arr[n - 1] = new Random().nextInt(n);//随机数，1-n
sum2 = sum1 ^ arr[n - 1];
int idx = new Random().nextInt(n);//随机选取一个下标
{//交换
int t = arr[idx];
arr[idx] = arr[n - 1];
arr[n - 1] = t;
}
/*for(int i = 0;i < n;i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}*/
System.out.println(sum1 ^ sum2);
}
}题2：找出落单的数
一个数组里除了某一个数字以外，其他的数字都出现了两次。请写程序找出这个只出现一次的数字
题解
这道题比上一道题还简单，这道题直接将所有的值全部异或起来，得到的结果就是落单的数了
题3：二进制中1的个数
请实现一个函数，输入一个整数，输出该二进制表示中1的个数
题解
第一种方法：假设这个数是3，其二进制为011，首先将011&001，判断得出来的结果是否等于001，如果等于，说明这个第1位是1；然后将011&010，判断得出来的结果是否等于010，如果等于，说明这个第2位是1，一直进行下去，判断31位
代码
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner cin = new Scanner(System.in);
int n = cin.nextInt();
int cnt = 0;
for(int i = 0;i < 32;i++)
if(((1 << i) & n) == (1 << i))
cnt++;
System.out.println(cnt);
}
}第二种方法
第二种方法：只让要测验的数向右移。假设这个数是3，其二进制为011，首先将011&001，判断得出来的结果是否等于001，如果等于，说明这个第1位是1；然后将001&001，判断得出来的结果是否等于001，如果等于，说明这个第2位是1，一直进行下去，判断31位
代码
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner cin = new Scanner(System.in);
int n = cin.nextInt();
int cnt = 0;
for(int i = 0;i < 32;i++)
if(((n >>> i) & 1) == 1)
cnt++;
System.out.println(cnt);
}
}第三种方法
第三种方法：还是假设这个数是3，那我们让3变成0的过程中肯定是要消掉1的，消掉多少次1，就表示3的二进制中有多少个1。关键就在于，如何消掉011中的1，我们首先让011减1，那么011就变成了010，然后让011&010，就得到了010，然后再让010减1，那么010就变成了001，然后让010&001，就得到了000，转换成伪代码的形式就是，a = (a - 1) & a，它的效果就是消掉最低位上的1，依次消掉所有最低位上的1，最后不久变成了0吗
代码
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner cin = new Scanner(System.in);
int n = cin.nextInt();
int cnt = 0;
while(n != 0) {
n = (n - 1) & n;
cnt++;
}
System.out.println(cnt);
}
}题4：是不是2的整数次方
用一条语句判断一个整数是不是2的整数次方
题解
这道题比较好想，判断一个数是不是2的整数次方，其实就是判断这个数的二进制数是不是有且仅有一个1，这个和上面那道题很相似，仔细想想，直接给出代码了
代码
if((n & (n - 1)) == 0)题5：将整数的奇偶位互换
假设这个数是9，二进制就是1001，那么得到的结果就是0110
题解
首先我们需要两个个数
a = 0x55555555
b = 0xaaaaaaaaa和b都是16进制数，转换为二进制分别是0101 0101 0101...，1010 1010 1010...（因为1010对应的十进制是10，而10在16进制中是a，0101也同理），然后将需要改变的数n分别对a和b进行&运算得到c和d，然后将c向左移1位，将d向右移1位，再分别进行异或，就得到所求结果，看下面示例
n = 1001
a = 0101
b = 1010
c = n & a = 0001
d = n & b = 1000
res = (c << 1) ^ (d >> 1) = 0110题6：0-1间浮点实数的二进制表示
给定一个介于0和1之间的实数，（如0.625），类型为double，打印他的二进制表示（0.101），如果该数字无法精确地用32位以内地二进制表示，则打印“ERROR”
代码
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner cin = new Scanner(System.in);
double num = cin.nextDouble();
StringBuilder sb = new StringBuilder("0.");
while(num > 0) {
double r = num * 2;
if(r >= 1) {
num = r - 1;
sb.append("1");
} else {
num = r;
sb.append("0");
}
}
if(sb.length() > 34)
System.out.println("ERROR");
else
System.out.println(sb.toString());
}
}题7：出现k次和出现1次的数
数组中只有一个数出现了1次，其他的数都出现了k次，请输出出现了1次的数
题解
这道题有很多种做法，但是这里我们只考虑如何利用进制的方法去做，多的也不说，大家只要记住一个结论k个相同的k进制数做不进位加法结果为0。举个例子，3个相同的三进制数，假设个这个数是2，2的三进制是011，所以三个011做不进位加法结果就是011+011+011=000；再比方说10个十进制数相加，假设这个数是10，做不进位加法最后结果也是0
代码
import java.util.*;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner cin = new Scanner(System.in);
int[] arr = {3,3,3,5,7,7,7,8,8,8,6,6,6};
int len = arr.length;
char[][] kRadix = new char[len][];
int k = 3;
int maxlen = 0;
//转换成k进制字符数组
//对于每个数字
for(int i = 0;i < len;i++) {
kRadix[i] = new StringBuilder(Integer.toString(arr[i],k)).reverse().toString().toCharArray();
if(maxlen < kRadix[i].length)
maxlen = kRadix[i].length;
}
int[] resArr = new int[maxlen];
for(int i = 0;i < len;i++) {
//不进位加法
for(int j = 0;j < maxlen;j++) {
if(j > kRadix[i].length)
resArr[j] += 0;
else
resArr[j] += (kRadix[i][j] - '0');
}
}
int res = 0;
for(int i = 0;i < maxlen;i++)
res += (resArr[i] % k) * (int)(Math.pow(k,i));
System.out.println(res);
}
}