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细说基姆拉尔森日期公式

July 15, 2018 • Read: 298 • 算法

计算给定日期星期几是编程经常会遇到的问题,这里有一个公式:
$W = (d + 2\times m + \frac{3\times(m+1)}{5} + y + \frac{y}{4} - \frac{y}{100} + \frac{y}{400}) \% 7$


 下面我们完全按自己的思路由简单到复杂一步步进行推导……

 推导之前,先作两项规定:

  1. y,m,d,w分别表示年,月,日,星期(w=0~6代表星期日~星期六)
  2. 我们从公元0年1月1日星期日开始(y=0,m=1,d=1,w=0)
一、只考虑最开始的7天

 即d=1~7,w=0~6,我们很直观的就能得到w与d的关系:w = d - 1

二、扩展到整个1月份

 我们可以从平常用的日历中看出,每列都是一个按7增长的等差数列,如1、8、15、22的星期都是相同的,所以得到整个1月的公式如下:
$w = (d - 1) % 7$····························(公式1)

三、按年扩展

 由于按月扩展比较麻烦,所以将年扩展放在前面说

 ①不考虑闰年,假设每年都是365天。由于365是7的52倍多1天,所以每一年的第一天和最后一天星期是相同的,也就是说下一年的第一天与上一年的第一天星期滞后一天。这是个重要的结论,每过一年,(公式1)会有一天的误差,由于我们是从0年开始的,所以只须要简单的加上年就可以修正扩展年引起的误差,得到公式如下:
$w = (d - 1 + y) % 7$
 ②将闰年考虑进去。每个闰年会多出一天,会使后面的年份产生一天的误差。如我们要计算2005年1月1日星期几,就要考虑前面的已经过的2004年中有多少个闰年,将这个误差加上就可以正确的计算了

 根据闰年的定义(能被4整但不能被100整除或能被400整),得到计算闰年的个数的算式:y/4 - y/100 + y/400(计算送公园0年开始过去的闰年数)。 由于我们要计算的是当前要计算的年之前的闰年数,所以要将年减1,得到了如下的公式:
$w = [d-1 + y + (y-1)/4 - (y-1)/100 + (y-1)/400] % 7$ ·····(公式2)
 现在,我们得到了按年扩展的(公式2),用这个公式可以计算任一年的1月份的星期

四、扩展到其他月

 ①假设每个月都是28天,且不考虑闰年。有了这个假设,计算星期就太简单了,因为28正好是7的整数倍,每个月的星期都是一样的,(公式2)对任一个月都适用

 ②但假设终究是假设,首先1月就不是28天,这将会造成2月份的计算误差。1月份比28天要多出3天,就是说公式⑵的基础上,2月份的星期应该推后3天。而对3月份来说,推后也是3天(2月正好28天,对3月的计算没有影响)。依此类推,每个月的计算要将前面几个月的累计误差加上

 要注意的是误差只影响后面月的计算,因为12月已是最后一个月,所以不用考虑12月的误差天数,同理,1月份的误差天数是0,因为前面没有月份影响它

 由此,想到建立一个误差表来修正每个月的计算

误差累计累计%7
1300
2033
3333
4264
5381
62114
73136
83162
92195
103210
112243
12-265

 (闰年时2月会有一天的误差,但我们现在不考虑)

 我们将最后的误差表用一个数组存放,在(公式2)的基础上可以得到扩展到其它月的公式

 e[] = {0, 3, 3, 6, 1, 4, 6, 2, 5, 0, 3, 5}
w = [d-1 + y + e[m-1] + (y-1)/4 - (y-1)/100 + (y-1)/400] % 7·····(公式3)
 ③上面的误差表我们没有考虑闰年,如果是闰年,2月会一天的误差,会对后面的3-12月的计算产生影响,对此,我们暂时在编程时来修正这种情况,增加的限定条件是如果当年是闰年,且计算的月在2月以后,需要加上一天的误差。大概代码是这样的:

w = (d-1 + y + e[m - 1] + (y-1)/4 - (y-1)/100 + (y-1)/400); 
if(m > 2 && (y % 4 == 0 && y % 100 != 0 || y % 400 == 0) && y != 0)
    ++w; 
w %= 7; 

 现在,已经可以正确的计算任一天的星期了。注意:0年不是闰年,虽然现在大都不用这个条件,但我们从公元0年开始计算,所以这个条件是不能少的

 ④改进

 (公式3)中,计算闰年数的子项 (y-1)/4-(y-1)/100+(y-1)/400 没有包含当年,如果将当年包含进去,则实现了如果当年是闰年,w 自动加1。由此带来的影响是如果当年是闰年,1,2月份的计算会多一天误差,我们同样在编程时修正。则代码如下:

w = (d-1 + y + e[m - 1] + y/4 - y/100 + y/400);//····(公式4)
if(m < 3 && (y % 4 == 0 && y % 100 != 0 || y % 400 == 0) && y != 0) 
    --w; 
w %= 7;

 至此,我们得到了一个阶段性的算法,可以计算任一天的星期了

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        int y = 2005;
        int m = 4;
        int d = 25;
        int e[] = {0,3,3,6,1,4,6,2,5,0,3,5};
        int w = (d-1 + e[m-1] + y + (y>>2) - y/100 + y/400);
        if(m < 3 && ((y & 3) == 0 && y % 100 != 0 || y % 400 == 0) && y != 0)
            --w; 
        w %= 7;
        System.out.println("2005年4月25日星期" + w);
    }
}
五、简化

 现在我们推导出了自己的计算星期的算法了,但还不能称之为公式。所谓公式,应该给定年月日后可以手工算出星期几的,但我们现在的算法需要记住一个误差表才能进行计算,所以只能称为一种算法,还不是公式。

 下面,我们试图消掉这个误差表……

 由于闰年在2月份产生的误差,影响的是后面的月份计算。如果2月是排在一年的最后的话,它就不能对其它月份的计算产生影响了,利用这一点,我们将1,2月当作上一年的13,14月来看待,由此会产生两个问题需要解决:

  1. 一年的第一天是3月1日了,我们要对w的计算公式重新推导
  2. 误差表也发生了变化,需要得新计算

 ①推导w计算公式
 和前面的思路一摸一样,这里就不再多叙述,读者谩骂推导即可,这里我直接把公式摆出来
w = (d+2 + e[m-3] + y + (y/4) - y/100 + y/400) % 7········(公式5)
 ②消除误差表

 假如存在一种m到e的函数映射关系,使得e[m-3] = f(m) 则我们就可以用f(m)取代(公式5)的子项e[m-3],也就消除了误差表,f(m)的公式为:
f(m) = -1 + 2m + 3(m+1)/5
 带入公式5得到:
w = (d + 1 + 2m + 3(m+1)/5 + y + (y/4) - y/100 + y/400) % 7······(公式6)
 约束条件:m = 1,m = 2时m = m + 12,y = y - 1;

六、验证公式的正确性

 一个月中的日期是连续的,只要有一天对的,模7的关系就不会错,所以一个月中只须验证一天就可以了,一天需要验12天。由于扩展到年和月只跟是否闰年有关系,就是说至少要验证一个平年和一个闰年,也就是最少得验证24次。我选择了2005年和2008年,验证每个月的1号

public class Main {
    public static int GetWeek(int y,int m,int d)   { 
        if(m <3) { 
                m += 12; 
                --y; 
        } 
        int w = (d + 1 + 2*m + 3*(m + 1)/5 + y + (y >> 2) - y/100 + y/400) % 7; 
        return w; 
} 
    public static void main(String[] args) {
        int y = 2005; 
        int m = 1; 
        int d = 1;
        String week[] = {"星期日 ","星期一 ","星期二 ",
                "星期三 ","星期四 ","星期五 ","星期六 "};
        for(y = 2005;y <= 2008;y += 3) { 
            for(m = 1;m <= 12; ++m) { 
                    String str = y + "-" + m + "-" + d + "\t" 
            + week[GetWeek(y,m,d)]; 
                    System.out.println(str); 
            }
        }
    }
}
最后编辑于: November 25, 2018
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已有 1 条评论
  1. 25599 25599

    4月的表格错了,难道不是6吗怎么变成4了