二分查找与二分答案（1）

我们在写程序的时候，经常会遇到这样一类问题：在一个数组中查找一个数是不是存在。比如在下图的数组中，查找8是不是存在：

如果不要求效率，我们最一般的查找方法就是顺序查找，依次查看a[0], a[1], …, a[n-1]，检查是不是等于8。这样对于长度为n的数组，平均查找长度是n/2

如果数组是有序的，比如是递增的，就像上图[1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13]一样的话。我们就有效率更高的查找算法，叫做二分查找。例如还是在上面数组中查找8

1. 我们直接找位于中间的数a[4]，发现a[4]=5，比8要小，所以如果8在这个数组里，肯定在a[5]~a[9]之中
2. 我们找a[5]-a[9]这个范围里位于中间的数a[7],发现a[7]=10，比我们要找的数大，所以如果8在这个数组里，肯定在a[5]-a[6]之中
3. 我们找a[5]~a[6]这个范围里位于中间的数a[5]，发现a[5]=7，比我们要找的8小。所以我们知道如果8在数组里，那它肯定是a[6]这个数
4. 我们查看a[6]的值，发现a[6]=8，于是我们找到了8的位置。假如我们这时发现a[6]不是8，则说明8没有在这个数组里

二分查找又叫“折半查找”。因为我们每进行一步，也就是查看一个元素的数值，都会使得后面需要检查的范围缩小一半。二分查找的时间复杂度是$O(\log N)$的，换句话说，在长度为N的有序数组中查找一个数，查看元素的次数最多是$\log N+1$次。当N很大时，二分查找的速度比顺序查找快非常多倍

#include<iostream>
using namespace std;
int n,x,a[1000000];
int binary_search(int a[],int n,int x)
{
    int l = 0;
    int r = n - 1;
    int ans = -1;
    while(l <= r)
    {
        int m = (l + r) / 2;
        if(a[m] == x)
        {
            ans = m;
            break;
        }
        if(a[m] < x)
            l = m + 1;
        else
            r = m - 1;
    }
    return ans;
} 
int main()
{
    cin >> n >> x;
    for(int i = 0;i < n;i++)
        cin >> a[i];
    int ans = binary_search(a,n,x);
    cout << ans;
    return 0;
}