例3 题目链接：hihoCoder1534
这道题要注意一下数据范围。首先N小于等于10万。其次$A_i$，也就是数组中每个数的值，是在负100万到正100万之间。假如这里$A_i$都是正整数的话，那么总共的划分方法不会太多，因为随着p增大，第一段的和S1是不断增大的
但是因为这里$A_i$有可能是0，也有可能是负数，所以划分方法可能非常多。例如有可能数据是10万个$A_i$全都是0。这样随便一个划分都是满足条件的。答案是C(99999, 2)，甚至超过了int范围
我们看一下样例，A数组是[3, 2, 1, 0, 2]。一共有3种切分方法：第一种是3|2|1 0 2，3单独一组，2单独一组，然后1 0 2一组，三段的和依次是3，2，3；第二种是3|2 1|0 2|，3单独一组，2和1一组，0 2一组，三段的和依次是3，3， 2；第三种是3|2 1 0|2，3单独一组，2 1 0一组，0单独一组，三段的和依次是3 3 2
思路
这道题一个基本的思路就是枚举3段的断点p和q，然后求出来3段的和S1, S2和S3。然后判断S1，S2和S3是不是满足题目要求，也就是相差不超过1。如果满足条件就给答案累加1。因为这里S1，S2和S3都是部分和，所以可能用前缀和来计算。但是在此之前，我们需要一个函数来判断三段和是否满足条件，如果满足条件就让结果+1。伪代码如下：
Ok(S1,S2,S3):
If |S1 - S2| <= 1 and |S1 - S3| <= 1 and |S2 - S3| <= 1
return true
return false然后我们预处理前缀和，以及进行枚举。伪代码如下：
//预处理前缀和
S[0] = 0
For i = 1...N
S[i] = S[i - 1] + A[i]
//枚举+判断
Ans = 0
For p = 1...N-2
For q = p+1...N-1
S1 = S[p]上面这个伪代码预处理前缀和的复杂度是$O(N)$。后面枚举pq的复杂度是$O(N^2)$。对于确定的pq，判断三段和是不是满足条件是$O(1)$。所以整体复杂度是$O(N^2)$。至此，题目中70%的分数应该能拿到了，还有30%需要优化
优化
优化的方法当然还是从枚举入手，我们假设只枚举q，也就是最后一段的断点。我们来分析一下这时候我们知道哪些信息，距离我们要的答案还有多远
看上图，假设A数组是[3, 2, 1, 0, 2]，然后我们枚举q=N-1，也就是第三段只包含A[N]=2这一个数。在q已经确定的情况下，可以知道S3的值。比如上面的例子中S3=2。根据题目要求S1、S2和S3的差不能超过1。所以对于一个合法的切分方案，S1的取值只可能是S3-1, S3, S3+1三种，也就是1，2，3
但是由于S1+S2+S3的和是整个数组的和，也就是8。所以S1的三种取值不见得都能成立。比如S1=1这种情况，由于S3=2是确定的，所以S2一定等于8-1-2=5。这是S2与S3相差超过1，不符合题目要求。所以S1=1这种情况不成立。同理S1=2也是不成立的。但是S1=3是成立的，因为这时S2的值是8-3-2=3。S2与S1和S3相差都不超过1
在S[1], S[2]和S[3]三个前缀和中，有几个的值是3。因为每有一个前缀和的值是3，都等价于找到了一种满足条件的切分方案：我们把这个前缀作为第一段，它的和等于3；剩下的就是第二段，它的和一定是3
实际例子中我们可以看上图，绿色的数组是前缀和。S[1], S[2], S[3]分别是3,5,6，只有S[1]=3。所以q=N-1这种情况下，只有一种切分方案：3|2 1 0|2
上面是q=N-1的情况，我们再枚举q=N-2的情况，如下图：
S3还是等于2。S1的可能取值还是S3-1，S3，S3+1，也就是1，2，3。其中只有S1=3时，S2的值满足题目要求。所以我们的问题变成S[0]和S[1]中，有几个前缀和等于3？
因为前缀和S[1]=3, S[2]=5，所以还是只有S[1]=3一个解。于是q=N-2这种情况下，也只有一种切分方案：3|2 1|0 2
最后一种情况是q=N-3的时候：
这时S3值是3。于是S1的取值范围是S3-1, S3, S3+1，也就是2, 3, 4。S1=2是成立的，因为这时S2=8-2-3=3，{2, 3, 3}相差都不超过1。S1=3也是成立的，因为这时S2=8-3-3=2，{3, 2, 3}相差都不超过1。S1=4是不成立的。于是我们的问题变成，前缀和S[0]中，有几个前缀和的值是2，有几个前缀和的值是3
这时只有S[1]=3一个前缀和满足条件，所以q=N-3时，只有一组划分方法：3|2|1 0 2
上面我们就把样例的3种划分方法都求出来了。我们回顾一下上面的思路，基本就是从N-1到2枚举q，对于每一个q，我们都要求一类问题的解：
q = N-1时，前缀和S[1], S[2], … S[N-2]中有几个前缀和的值是X？（这里X可能是S3-1， S3， S3+1）<br>
q = N-2时，前缀和S[1], S[2], … S[N-3]中有几个前缀和的值是X？（这里X可能是S3-1， S3， S3+1）<br>
…
q = 2时，前缀和S[1]中有几个前缀和的值是X？（这里X可能是S3-1， S3， S3+1）当然上面枚举q的过程中S3的值会变化，另外注意我们关心的前缀和集合也在变短。对于这一类问题，就是一堆前缀和中，有几个X，我们当然可以用哈希表来实现。使得每次询问的复杂度都是O(1)的。具体来说，我们可以用unordered_map<long long, int> cnt来保存每个值出现了几次，例如cnt[3]的值表示前缀和是3的有几个。注意这里key的类型是long long，因为前缀和可能超过int范围
#include <iostream>
#include <unordered_map>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,a[100001];
long long s[100001],ans = 0;
unordered_map<long long,int> cnt;
bool ok(long long s1,long long s2,long long s3)
{
if(abs(s1 - s2) <= 1 && abs(s1 - s3) <= 1 && abs(s2 - s3) <= 1)
return true;
return false;
}
int main()
{
cin >> n;
s[0] = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
cin >> a[i];
s[i] = s[i - 1] + a[i];
if(i < n)
cnt[s[i]]++;
}
long long s3 = 0;
for(int q = n - 1;q >= 2;q--)
{
s3 += a[q + 1];
cnt[s[q]]--;
for(long long s1 = s3 - 1;s1 <= s3 + 1;s1++)
{
long long s2 = s[n] - s1 - s3;
if(ok(s1,s2,s3))
ans += cnt[s1];
}
}
cout << ans;
return 0;
}第二次作业 hihocoder 1604
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000100;
int A[N];
int main()
{
int n,j;
cin >> n;
int ans = 0;
for(int i = 0;i < n;i++)
cin >> A[i];
//从最后一天开始枚举
for(int i = n - 1;i >= 0;i = j)
{
for(j = i - 1;j >= 0;j--)//j从i的前一天开始一直向前枚举
{
if(A[j] < A[i])//如果前面有价格比今天低的
ans += A[i] - A[j];//第j天买入，第i天卖出，赚取利润
else
break;
}
}
cout << ans;
return 0;
}这段代码都比较好理解，唯一有一个地方，就是第16~21行，尤其是20，21行，很多人可能会困惑，为什么A[j]>=A[i]就要break，看下面的图讲解，可能更好理解
一开始i指向N-1，也就是末尾的位置，j指向i的前面一位，假如不break，而是直接跳过这个值，程序继续执行下去，最后算得的ans应该是2+1+4+3+7=17。如果break，那么程序就会变成下图所示：
这种情况下算得的ans是3+2+5+4+8=22。这是为什么？我们仔细分析一下原因：
- 假设A[i]前面的所有数都比A[i]大，而且越往前越大，那ans最大也就是0了，因为股票的价格随着时间越往后越小，所以买股票一定是亏的，干脆不买，那就是0
- 如果排除第一种情况，也就是说，你在第i天买的股票后面总有一天的价格会比A[i]大，对于这种情况，就以上面的图来举例，假设第一天你买股票，那么第二天你是卖掉第一天的股票还是买呢？（什么都不干肯定是最亏的，这我们就不考虑了）假设你卖，那么你就变相相当于损失了4，为什么是4，如果你买了5，那你在9可以卖掉5，但是如果你不买，你不就没有卖的了么，1在哪都可以卖，所以你干嘛不买5呢
- 关于往前移动的问题，首先我们知道，假设A[i]=3，如果A[i-1]>A[i]，因为A数组都是正整数，所以A[i-1]最小也可以是A[i]+1，那么所有股票在A[i-1]卖掉的钱都比A[i]至少多1
如果你还有疑问，想想上图这种情况，或许你就会豁然开朗
