写在前面
本文对大部分人来说可能仅仅起到科普的作用，因为Gumbel-Max仅在部分领域会用到，例如GAN、VAE等。笔者是在研究EMNLP上的一篇论文时，看到其中有用Gumbel-Softmax公式解决对一个概率分布进行采样无法求导的问题，故想到对Gumbel-Softmax做一个总结，由此写下本文
为什么我们需要Gumbel-Softmax ?
假设现在我们有一个离散随机变量$Z$的分布
$$ p_1 = p(Z=1)=\pi_1\\ p_2 = p(Z=2) = \pi_2\\ p_3 = p(Z=3) = \pi_3\\ ...\\ p_x = p(Z=x) = \pi_x\\ $$
其中，$\sum_i \pi_i=1$。我们想根据$p_1,p_2,...,p_x$的概率采样得到一系列离散$z$的值。但是这么做有一个问题，我们采样出来的$z$只有值，没有生成$z$的式子。例如我们要求$Z$的期望，那么就有公式
$$ \mathbb{E}(Z) = p_1 + 2p_2 + \cdots +xp_x $$
$Z$对$p_1,p_2,...,p_x$的导数都很清楚。但是现在我们的需求是采样一些具体的$z$值，采样这个操作没有任何公式，因此也就无法求导。于是一个很自然的想法就产生了，我们能不能给一个以$p_1,p_2,...,p_z$为参数的公式，让这个公式返回的结果是$z$采样的结果呢？
Gumbel-Softmax
一般来说$\pi_i$是通过神经网络预测对于类别$i$的概率，这在分类问题中非常常见，假设我们将一个样本送入模型，最后输出的概率分布为$[0.2, 0.4,0.1,0.2,0.1]$，表明这是一个5分类问题，其中概率最大的是第2类，到这一步，我们直接通过argmax就能获得结果了，但现在我们不是预测问题，而是一个采样问题。对于模型来说，直接取出概率最大的就可以了，但对我们来说，每个类别都是有一定概率的，我们想根据这个概率来进行采样，而不是直接简单无脑的输出概率最大的值
最常见的采样$\mathbf{z}$的onehot公式为
$$ \mathbf{z} = \text{onehot}(\max \{i\mid \pi_1 + \pi_2+\cdots +\pi_{i-1} \leq u\})\tag{1} $$
其中$i=1,2,..,x$是类别的下标，随机变量$u$服从均匀分布$U(0,1)$
上面这个过程实际上是很巧妙的，我们将概率分布从前往后不断加起来，当加到$\pi_i$时超过了某个随机值$ 0\leq u \leq 1$，那么这一次随机采样过程，$z$就被随机采样为第$i$类，最后通过一个onehot变换
但是上述公式存在一个致命的问题：max函数是不可导的
Gumbel-Max Trick
Gumbel-Max技巧就是解决max函数不可导问题的，我们可以用argmax替换max，即
$$ \mathbf{z} = \text{onehot}(\mathop{\text{argmax}}\limits_{i} \{g_i + \log \pi_i\})\tag{2} $$
其中，$g_i=-\log(-\log(u_i)), u_i \sim U(0,1)$，这一项名为Gumbel噪声，或者叫Gumbel分布，目的是使得$\mathbf{z}$的返回结果不固定
可以看到式$(2)$的整个过程中，不可导的部分只有argmax，实际上我们可以用可导的softmax函数，在参数$\tau$的控制下逼近argmax，最终$z_i$的公式为
$$ z_i = \frac{\exp(\frac{g_i + \log \pi_i}{\tau})}{\sum_{j}^x\exp(\frac{g_j + \log \pi_j}{\tau})}\tag{3} $$
其中，$\tau$越小$(\tau \to 0)$，整个softmax越光滑逼近argmax，并且$\mathbf{z} = \{z_i\mid i=1,2,...,x\}$也越接近onehot向量；$\tau$越大$(\tau \to \infty)$，$\mathbf{z}$向量越接近于均匀分布
总结
整个过程相当于我们把不可导的取样过程，从$\mathbf{z}$本身转移到了求$\mathbf{z}$的公式中的一项$g_i$中，而$g_i$本身不依赖$p_1,..,p_x$，所以$z$对$p_1,...,p_x$就可以到了，而且我们得到的$\mathbf{z}$仍然是离散概率分布的采样。这种采样过程转嫁的技巧有一个专有名词，叫重参数化技巧（Reparameterization Trick）
大佬，公式1是不是错了 pi1+pi2+...+pi-1 <= u.
是的，感谢提醒，已修改