我们知道，BERT无法处理超长文本的根本原因是BERT使用了从随机初始化训练出来的绝对位置编码，一般的最大位置设为了512，因此顶多只能处理512个token，多出来的部分就没有位置编码可用了。当然，还有一个重要的原因是Attention的$O(n^2)$复杂度，导致长序列时显存用量大大增加，一般显卡也finetune不了
本文主要解决第一个问题，即假设有足够多的显存前提下，如何简单修改当前最大长度为512的BERT模型，使得它可以直接处理更长的文本。主要思路是层次分解已经训练好的绝对位置编码，使得它可以延拓到更长的位置
位置编码
BERT使用的是训练出来的绝对位置编码，这种编码方式简单直接，效果也很不错，但是由于每个位置向量都是模型自己训练出来的，我们无法推断其余位置的编码向量，因此有了长度限制。
解决这个问题的一个主流思路是换成相对位置编码，这是个可行的办法，华为的NEZHA模型便是一个换成了相对位置编码的BERT模型。相对位置编码一般会对位置差做个截断，使得要处理的相对位置都在一个有限的范围内，因此相对位置编码可以不受限于序列长度。但相对位置编码也不是完美的解决方案，首先像NEZHA那样的相对位置编码会增加计算量（如果是T5那种倒是不会），其次是线性Attention则没法用相对位置编码，也就是不够通用
读者可能会想到，《Attention is All You Need》不是提出了一种用$\sin,\cos$表示的Sinusoidal绝对位置编码吗？直接用那种不就不限制长度了？理论上是这样，但问题是目前没有用Sinusoidal位置编码的模型开放，我们自己从零训练一个不太现实
层次分解
所以，在有限资源的情况下，最理想的方案还是想办法延拓训练好的BERT的位置编码，而不用重新训练模型。下面给出苏剑林大佬构思的一种层次分解方案
具体来说，假设已经训练好的绝对位置编码向量为$\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,...,\boldsymbol{p}_n$，我们希望在此基础上构建一套新的编码向量$\boldsymbol{q}_1,\boldsymbol{q}_2,...,\boldsymbol{q}_m$，其中$m>n$。为此，我们假设
$$ \boldsymbol{q}_{(i-1)\times n+j}=\alpha \boldsymbol{u}_i+(1-\alpha)\boldsymbol{u}_j \tag{1} $$
其中，$\alpha \in (0,1)$且$\alpha \neq 0.5$是一个超参数，$\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,⋯,\boldsymbol{u}_n$是该套位置编码的"基底"。这样的表示意义很清晰，就是将位置$(i−1)\times n+j$层次地表示为$(i,j)$，然后$i,j$对应的位置编码分别为$\alpha \boldsymbol{u}_i$和$(1−\alpha)\boldsymbol{u}_j$，而最终$(i−1)\times n+j$的编码向量则是两者的叠加。要求$\alpha \neq0.5$是为了区分$(i,j)$和$(j,i)$两种不同的情况
我们希望在不超过$n$时，位置向量保持跟原来的一样，这样就能与已经训练好的模型兼容。换句话说，我们希望$\boldsymbol{q}_1=\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{q}_2=\boldsymbol{p}_2,⋯,\boldsymbol{q}_n=\boldsymbol{p}_n$，这样就能反推出各个$\boldsymbol{u}_i$了
$$ \begin{aligned} \boldsymbol{q}_1=\boldsymbol{p}_1 = \alpha \boldsymbol{u}_1+ (1-\alpha)\boldsymbol{u}_1\Rightarrow &\boldsymbol{u}_1=\frac{\boldsymbol{p}_1-\alpha \boldsymbol{u}_1}{1-\alpha}\\ \boldsymbol{q}_2=\boldsymbol{p}_2 = \alpha \boldsymbol{u}_1+ (1-\alpha)\boldsymbol{u}_2 \Rightarrow &\boldsymbol{u}_2=\frac{\boldsymbol{p}_2-\alpha\boldsymbol{u}_1}{1-\alpha}\\ &\vdots \\ &\boldsymbol{u}_i = \frac{\boldsymbol{p}_i - \alpha \boldsymbol{u}_1}{1-\alpha} \end{aligned}\tag{2} $$
不妨令$\boldsymbol{u}_1 = \boldsymbol{p}_1$，则
$$ \boldsymbol{u}_i = \frac{\boldsymbol{p}_i-\alpha \boldsymbol{p}_1}{1-\alpha}\tag{3} $$
这样一来，我们的参数还是$\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,⋯,\boldsymbol{p}_n$，但我们可以表示出$n^2$个位置的编码，并且前$n$个位置编码跟原来模型是相容的
自我分析
事实上，读懂了之后，读者也许会觉得这个分解其实没什么技术含量，就是一个纯粹的拍脑袋的结果而已？其实确实是这样
至于为什么会觉得这样做有效？一是由于层次分解的可解释性很强，因此可以预估我们的结果具有一定外推能力，至少对于大于$n$的位置是一个不错的初始化；二则是下一节的实验验证了，毕竟实验是证明trick有效的唯一标准。本质上来说，我们做的事情很简单，就是构建一种位置编码的延拓方案，它跟原来的前$n$个编码相容，然后还能外推到更多的位置，剩下的就交给模型来适应了。这类做法肯定有无穷无尽的，笔者只是选择了其中自认为解释性比较强的一种，提供一种可能性，并不是最优的方案，也不是保证有效的方案
此外，讨论一下$\alpha$的选取问题，苏剑林大佬的选择是$\alpha=0.4$。理论上来说，$\alpha\in(0,1)$且$\alpha \neq 0.5$都成立，但是从实际情况出发，还是建议选择$0<\alpha<0.5$的数值。因为我们很少机会碰到上万长度的序列，对于个人显卡来说，能处理到2048已经很壕了，如果$n=512$，那么这就意味着$i=1,2,3,4$而$j=1,2,⋯,512$，如果$\alpha>0.5$的话，那么从分解式(1)看$\alpha \boldsymbol{u}_i$就会占主导，因次位置编码之间差异变小（因为$i$的候选值只有4个），模型不容易把各个位置区分开来，会导致收敛变慢；如果$\alpha<0.5$，那么占主导的是$(1−\alpha)\boldsymbol{u}_j$，位置编码的区分度更好（$j$的候选值有512个），模型收敛更快一些
实践效果
苏剑林大佬首先测了MLM任务，直接将最大长度设为1536，然后加载训练好的RoBERTa权重，发现MLM的准确率大概是38%左右（如果截断到512，那么大概是55%左右），经过finetune其准确率可以很快（3000步左右）恢复到55%以上。这个结果表明这样延拓出来的位置编码在MLM任务上是行之有效的。如果有空余算力的话，在做其他任务之前先在MLM下继续预训练一会应该是比较好的。同时，我们对不同的$\alpha$也做了实验，表明$\alpha=0.4$确实是一个不错的默认值，如下图所示
然后测了两个长文本分类问题，分别将长度设为512和1024，其他参数不变进行finetune（直接finetune，没有先进行MLM继续预训练），其中一个数据集的结果没有什么明显变化；另一个数据集在验证集上1024的比512的要高0.5%左右。这再次表明本文所提的层次分解位置编码是能起作用的。所以，大家如果有足够显存的显卡，那就尽管一试吧，尤其是长文本的序列标注任务，感觉应该挺适合的
