去掉Attention的Softmax，复杂度降为O(n)

众所周知，尽管基于Attention机制的Transformer类模型有着良好的并行性能，但它的空间和时间复杂度都是$\mathcal{O}(n^2)$级别的，$n$是序列长度，所以当$n$比较大时Transformer模型的计算量难以承受。近来，也有不少工作致力于降低Transformer模型的计算量，比如模型剪枝、量化、蒸馏等精简技术，又或者修改Attention结构，使得其复杂度能降低到$\mathcal{O}(n\log⁡n)$甚至$\mathcal{O}(n)$

论文《Transformers are RNNs: Fast Autoregressive Transformers with Linear Attention》当中提到一种线性化Attention（Linear Attention）的方法，由此引发了我的兴趣，继而阅读了一些相关博客，有一些不错的收获，最后将自己对线性化Attention的理解汇总在此文中

Attention

当前最流行的Attention机制当属Scaled-Dot Attention，即

$$ \begin{equation}\text{Attention}(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V}) = \text{Softmax}\left(\boldsymbol{Q}\boldsymbol{K}^{\top}\right)\boldsymbol{V}\tag{1}\end{equation} $$

这里的$\boldsymbol{Q}\in \mathbb{R}^{n\times d_k}, \boldsymbol{K}\in \mathbb{R}^{m\times d_k}, \boldsymbol{V}\in \mathbb{R}^{m\times d_v}$，简单起见我就没显式的写出Attention的缩放因子$\frac{1}{\sqrt{d}}$了。本文我们主要关心Self Attention的场景，所以为了介绍上的方便，统一设$\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V}\in \mathbb{R}^{n\times d}$

摘掉Softmax

读者也许想不到，制约Attention性能的关键因素，其实是定义里边的Softmax！事实上，简单地推导一下就可以得到这个结论。$QK^T$这一步我们得到一个$n\times n$的矩阵，之后还要做一个Softmax

对一个$1\times n$的行向量进行Softmax，时间复杂度是$O(n)$，但是对一个$n\times n$矩阵的每一行做一个Softmax，时间复杂度就是$O(n^2)$

如果没有Softmax，那么Attention的公式就变为三个矩阵连乘$\boldsymbol{QK^{\top}V}$，而矩阵乘法是满足结合率的，所以我们可以先算$\boldsymbol{K^{\top}V}$，得到一个$d\times d$的矩阵（这一步的时间复杂度是$O(d^2n)$），然后再用$Q$左乘它（这一步的时间复杂度是$O(d^2n)$），由于$d \ll n$，所以这样算大致的时间复杂度只是$O(n)$

对于BERT base来说，$d=64$而不是768，why？因为768实际上是通过Multi-Head拼接得到的，而每个head的$d=64$

也就是说，去掉Softmax的Attention复杂度可以降到最理想的线性级别$\mathcal{O}(n)$！这显然就是我们的终极追求：Linear Attention

一般的定义

问题是，直接去掉Softmax还能算是Attention吗？他还能有标准的Attention的效果吗？为了回答这个问题，我们先将Scaled-Dot Attention的定义等价的改写为（本文的向量都是列向量）

$$ \begin{equation}\text{Attention}(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V})_i = \frac{\sum\limits_{j=1}^n e^{\boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j}\boldsymbol{v}_j}{\sum\limits_{j=1}^n e^{\boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j}}\tag{2}\end{equation} $$

这里稍微解释下，首先我们知道$\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K}\in \mathbb{R}^{n\times d}$，令$\boldsymbol{M} = \boldsymbol{Q}\times \boldsymbol{K^{\top}}$，由矩阵乘法法则可知，$\boldsymbol{M}$的第一行是由$\boldsymbol{Q}$的第一行乘以$\boldsymbol{K^{\top}}$的所有列得到的

$\text{Attention}(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V})_i$表示最终输出结果矩阵的第$i$行

$\boldsymbol{q}_i^{\top}$表示$\boldsymbol{Q}\in \mathbb{R}^{n\times d}$矩阵的第$i$行（行向量）

$\boldsymbol{k}_j$表示$\boldsymbol{K^{\top}}\in \mathbb{R}^{d\times n}$矩阵的第$j$列（列向量）

$\boldsymbol{v}_j$表示$V^{\top}\in \mathbb{R}^{d\times n}$矩阵的的第$j$列（列向量）

所以，Scaled-Dot Attention其实就是以$e^{\boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j}$为权重对$\boldsymbol{v}_j$做加权平均。所以我们可以提出一个Attention的一般化定义

$$ \begin{equation}\text{Attention}(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V})_i = \frac{\sum\limits_{j=1}^n \text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j)\boldsymbol{v}_j}{\sum\limits_{j=1}^n \text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j)}\tag{3}\end{equation} $$

也就是把$e^{\boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j}$换成$\boldsymbol{q}_i,\boldsymbol{k}_i$的一般函数$\text{sim}(\boldsymbol{q}_i,\boldsymbol{k}_j)$，为了保留Attention相似的分布特性，我们要求$\text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j)\geq 0$恒成立。也就是说，我们如果要定义新的Attention，必须要保留式(3)的形式，并且满足$\text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j)\geq 0$

这种一般形式的Attention在CV中也被称为Non-Local网络，出自论文《Non-local Neural Networks》

几个例子

如果直接去掉Softmax，那么就是$\text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j) = \boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j$，问题是内积无法保证非负性，所以这还不是一个合理的选择。下面我们介绍几种可取的方案

值得一提的是，下面介绍的这几种Linear Attention，前两种来自CV领域，第三种是苏剑林大佬构思的（除了下面的介绍外，还有EMANet等CV领域对Attention的改进工作）

核函数形式

一个自然的想法是：如果$\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j$的每个元素都是非负的，那么内积自然也是非负的。为了完成这点，我们可以给$\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j$各自加个激活函数$\phi,\varphi$，即

$$ \begin{equation}\text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j) = \phi(\boldsymbol{q}_i)^{\top} \varphi(\boldsymbol{k}_j)\tag{4}\end{equation} $$

其中$\phi(\cdot), \varphi(\cdot)$是值域非负的激活函数。本文开头提到的论文《Transformers are RNNs》选择的是$\phi(x)=\varphi(x)=\text{elu}(x)+1$，其中

$$ \text{elu}(x)=\begin{cases}x& \text{if} \ x>0\\ \alpha (e^x-1) & \text{if}\ x<0\end{cases} $$

常见的$\alpha$取值为$[0.1, 0.3]$

非要讲故事的话，式(4)可以联想到"核方法"，尤其是$\phi=\varphi$时，$\phi$就相当于一个核函数，而$\langle \phi(\boldsymbol{q}_i), \phi(\boldsymbol{k}_j)\rangle$就是通过核函数所定义的内积。这方面的思考可以参考论文《Transformer dissection: An unified understanding for transformer’s attention via the lens of kernel》，此处不做过多延伸

妙用Softmax

另一篇更早的文章《Efficient Attention: Attention with Linear Complexities》则给出了一个更有意思的选择。它留意到在$\boldsymbol{QK^{\top}}$中，$\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K}\in \mathbb{R}^{n\times d}$，如果“$\boldsymbol{Q}$在$d$那一维是归一化的，并且$\boldsymbol{K}$在$n$那一维是归一化的”，那么$\boldsymbol{QK^{\top}}$就是自动满足归一化了，所以它给出的选择是

$$ \begin{equation}\text{Attention}(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V}) = \text{Softmax}_2\left(\boldsymbol{Q}\right)\text{Softmax}_1(\boldsymbol{K})^{\top}\boldsymbol{V}\tag{5}\end{equation} $$

其中$\text{Softmax}_1$、$\text{Softmax}_2$分别表示在第一个$(n)$、第二个维度$(d)$进行Softmax运算。也就是说，这时候我们是各自给$\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K}$加Softmax，而不是算完$\boldsymbol{QK^{\top}}$之后再加Softmax

其实可以证明这个形式也是式(4)​的一个特例，此时对应于$\phi(\boldsymbol{q}_i)=\text{Softmax}(\boldsymbol{q}_i),\varphi(\boldsymbol{k}_j)=e^{\boldsymbol{k}_j}$，读者可以自行推导一下

苏神的构思

在这里，苏神给出了一种构思。这个构思的出发点不再是式(4)，而是源于我们对原始定义(2)​的泰勒展开。由泰勒展开我们有

$$ \begin{equation}e^{\boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j} \approx 1 + \boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j\tag{6}\end{equation} $$

如果$\boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j\geq -1$，那么就可以保证右端的非负性，从而可以让$\text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j)=1 + \boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j$。到这里读者可能已经想到了，想要保证$\boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j\geq -1$，只需要分别对$\boldsymbol{q}_i,\boldsymbol{k}_j$做$l_2$归一化。所以，苏神最终提出的方案就是：

$$ \begin{equation}\text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j) = 1 + \left( \frac{\boldsymbol{q}_i}{\Vert \boldsymbol{q}_i\Vert}\right)^{\top}\left(\frac{\boldsymbol{k}_j}{\Vert \boldsymbol{k}_j\Vert}\right)\tag{7}\end{equation} $$

若$\boldsymbol{x}=[x_1,x_2,...,x_n]$，则$\Vert x\Vert=\sqrt{x_1^2+x_2^2+···+x_n^2}$

这不同于式(4)，但理论上它更加接近原始的Scaled-Dot Attention

实现

这里主要是针对苏神所提出的方法进行实现，但是由于笔者本人水平有限，因此最终实现的代码当中其实存在一些问题，主要是：

1. 从测试结果来看，改进后的计算速度并没有提升
2. 无法做到求和为1

代码实现主要是针对BERT的PyTorch实现这篇文章的代码，更具体的说，其实仅修改了ScaledDotProductAttention这个函数，因此下面只放出这部分代码

class ScaledDotProductAttention(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(ScaledDotProductAttention, self).__init__()

    def forward(self, Q, K, V, attn_mask):
        Q = F.normalize(Q, dim=3)
        K = F.normalize(K, dim=3)
        M = (torch.ones(Q.shape[0], Q.shape[1], Q.shape[2], K.shape[2]) + torch.matmul(Q, K.transpose(-1, -2))) # scores : [batch_size, n_heads, seq_len, seq_len]
        M_sum = torch.sum(M, dim=3)
        M = M / M_sum.unsqueeze(3).repeat(1, 1, 1, M.shape[3])
        attn = M.masked_fill(attn_mask, 0) # Fills elements of self tensor with value where mask is one.
        context = torch.matmul(attn, V)
        return context

如果您有更好的实现方法，还望不吝赐教

Reference

• 线性Attention的探索：Attention必须有个Softmax吗？