去掉 Attention 的 Softmax，复杂度降为 O (n)

众所周知，尽管基于 Attention 机制的 Transformer 类模型有着良好的并行性能，但它的空间和时间复杂度都是 $\mathcal {O}(n^2)$ 级别的，$n$ 是序列长度，所以当 $n$ 比较大时 Transformer 模型的计算量难以承受。近来，也有不少工作致力于降低 Transformer 模型的计算量，比如模型剪枝、量化、蒸馏等精简技术，又或者修改 Attention 结构，使得其复杂度能降低到 $\mathcal {O}(n\log⁡n)$ 甚至 $\mathcal {O}(n)$

论文《Transformers are RNNs: Fast Autoregressive Transformers with Linear Attention》当中提到一种线性化 Attention（Linear Attention）的方法，由此引发了我的兴趣，继而阅读了一些相关博客，有一些不错的收获，最后将自己对线性化 Attention 的理解汇总在此文中

Attention

当前最流行的 Attention 机制当属 Scaled-Dot Attention，即

$$ \begin{equation}\text{Attention}(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V}) = \text{Softmax}\left(\boldsymbol{Q}\boldsymbol{K}^{\top}\right)\boldsymbol{V}\tag{1}\end{equation} $$

这里的 $\boldsymbol {Q}\in \mathbb {R}^{n\times d_k}, \boldsymbol {K}\in \mathbb {R}^{m\times d_k}, \boldsymbol {V}\in \mathbb {R}^{m\times d_v}$，简单起见我就没显式的写出 Attention 的缩放因子 $\frac {1}{\sqrt {d}}$ 了。本文我们主要关心 Self Attention 的场景，所以为了介绍上的方便，统一设 $\boldsymbol {Q},\boldsymbol {K},\boldsymbol {V}\in \mathbb {R}^{n\times d}$

摘掉 Softmax

读者也许想不到，制约 Attention 性能的关键因素，其实是定义里边的 Softmax！事实上，简单地推导一下就可以得到这个结论。$QK^T$ 这一步我们得到一个 $n\times n$ 的矩阵，之后还要做一个 Softmax

对一个 $1\times n$ 的行向量进行 Softmax，时间复杂度是 $O (n)$，但是对一个 $n\times n$ 矩阵的每一行做一个 Softmax，时间复杂度就是 $O (n^2)$

如果没有 Softmax，那么 Attention 的公式就变为三个矩阵连乘 $\boldsymbol {QK^{\top} V}$，而矩阵乘法是满足结合率的，所以我们可以先算 $\boldsymbol {K^{\top} V}$，得到一个 $d\times d$ 的矩阵（这一步的时间复杂度是 $O (d^2n)$），然后再用 $Q$ 左乘它（这一步的时间复杂度是 $O (d^2n)$），由于 $d \ll n$，所以这样算大致的时间复杂度只是 $O (n)$

对于 BERT base 来说，$d=64$ 而不是 768，why？因为 768 实际上是通过 Multi-Head 拼接得到的，而每个 head 的 $d=64$

也就是说，去掉 Softmax 的 Attention 复杂度可以降到最理想的线性级别 $\mathcal {O}(n)$！这显然就是我们的终极追求：Linear Attention

一般的定义

问题是，直接去掉 Softmax 还能算是 Attention 吗？他还能有标准的 Attention 的效果吗？为了回答这个问题，我们先将 Scaled-Dot Attention 的定义等价的改写为（本文的向量都是列向量）

$$ \begin{equation}\text{Attention}(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V})_i = \frac{\sum\limits_{j=1}^n e^{\boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j}\boldsymbol{v}_j}{\sum\limits_{j=1}^n e^{\boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j}}\tag{2}\end{equation} $$

这里稍微解释下，首先我们知道 $\boldsymbol {Q},\boldsymbol {K}\in \mathbb {R}^{n\times d}$，令 $\boldsymbol {M} = \boldsymbol {Q}\times \boldsymbol {K^{\top}}$，由矩阵乘法法则可知，$\boldsymbol {M}$ 的第一行是由 $\boldsymbol {Q}$ 的第一行乘以 $\boldsymbol {K^{\top}}$ 的所有列得到的

$\text {Attention}(\boldsymbol {Q},\boldsymbol {K},\boldsymbol {V})_i$ 表示最终输出结果矩阵的第 $i$ 行

$\boldsymbol {q}_i^{\top}$ 表示 $\boldsymbol {Q}\in \mathbb {R}^{n\times d}$ 矩阵的第 $i$ 行（行向量）

$\boldsymbol {k}_j$ 表示 $\boldsymbol {K^{\top}}\in \mathbb {R}^{d\times n}$ 矩阵的第 $j$ 列（列向量）

$\boldsymbol {v}_j$ 表示 $V^{\top}\in \mathbb {R}^{d\times n}$ 矩阵的的第 $j$ 列（列向量）

所以，Scaled-Dot Attention 其实就是以 $e^{\boldsymbol {q}_i^{\top}\boldsymbol {k}_j}$ 为权重对 $\boldsymbol {v}_j$ 做加权平均。所以我们可以提出一个 Attention 的一般化定义

$$ \begin{equation}\text{Attention}(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V})_i = \frac{\sum\limits_{j=1}^n \text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j)\boldsymbol{v}_j}{\sum\limits_{j=1}^n \text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j)}\tag{3}\end{equation} $$

也就是把 $e^{\boldsymbol {q}_i^{\top}\boldsymbol {k}_j}$ 换成 $\boldsymbol {q}_i,\boldsymbol {k}_i$ 的一般函数 $\text {sim}(\boldsymbol {q}_i,\boldsymbol {k}_j)$，为了保留 Attention 相似的分布特性，我们要求 $\text {sim}(\boldsymbol {q}_i, \boldsymbol {k}_j)\geq 0$ 恒成立。也就是说，我们如果要定义新的 Attention，必须要保留式 (3) 的形式，并且满足 $\text {sim}(\boldsymbol {q}_i, \boldsymbol {k}_j)\geq 0$

这种一般形式的 Attention 在 CV 中也被称为 Non-Local 网络，出自论文《Non-local Neural Networks》

几个例子

如果直接去掉 Softmax，那么就是 $\text {sim}(\boldsymbol {q}_i, \boldsymbol {k}_j) = \boldsymbol {q}_i^{\top}\boldsymbol {k}_j$，问题是内积无法保证非负性，所以这还不是一个合理的选择。下面我们介绍几种可取的方案

值得一提的是，下面介绍的这几种 Linear Attention，前两种来自 CV 领域，第三种是苏剑林大佬构思的（除了下面的介绍外，还有 EMANet 等 CV 领域对 Attention 的改进工作）

核函数形式

一个自然的想法是：如果 $\boldsymbol {q}_i, \boldsymbol {k}_j$ 的每个元素都是非负的，那么内积自然也是非负的。为了完成这点，我们可以给 $\boldsymbol {q}_i, \boldsymbol {k}_j$ 各自加个激活函数 $\phi,\varphi$，即

$$ \begin{equation}\text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j) = \phi(\boldsymbol{q}_i)^{\top} \varphi(\boldsymbol{k}_j)\tag{4}\end{equation} $$

其中 $\phi (\cdot), \varphi (\cdot)$ 是值域非负的激活函数。本文开头提到的论文《Transformers are RNNs》选择的是 $\phi (x)=\varphi (x)=\text {elu}(x)+1$，其中

$$ \text{elu}(x)=\begin{cases}x& \text{if} \ x>0\\ \alpha (e^x-1) & \text{if}\ x<0\end{cases} $$

常见的 $\alpha$ 取值为 $[0.1, 0.3]$

非要讲故事的话，式 (4) 可以联想到 "核方法"，尤其是 $\phi=\varphi$ 时，$\phi$ 就相当于一个核函数，而 $\langle \phi (\boldsymbol {q}_i), \phi (\boldsymbol {k}_j)\rangle$ 就是通过核函数所定义的内积。这方面的思考可以参考论文《Transformer dissection: An unified understanding for transformer’s attention via the lens of kernel》，此处不做过多延伸

妙用 Softmax

另一篇更早的文章《Efficient Attention: Attention with Linear Complexities》则给出了一个更有意思的选择。它留意到在 $\boldsymbol {QK^{\top}}$ 中，$\boldsymbol {Q},\boldsymbol {K}\in \mathbb {R}^{n\times d}$，如果 “$\boldsymbol {Q}$ 在 $d$ 那一维是归一化的，并且 $\boldsymbol {K}$ 在 $n$ 那一维是归一化的”，那么 $\boldsymbol {QK^{\top}}$ 就是自动满足归一化了，所以它给出的选择是

$$ \begin{equation}\text{Attention}(\boldsymbol{Q},\boldsymbol{K},\boldsymbol{V}) = \text{Softmax}_2\left(\boldsymbol{Q}\right)\text{Softmax}_1(\boldsymbol{K})^{\top}\boldsymbol{V}\tag{5}\end{equation} $$

其中 $\text {Softmax}_1$、$\text {Softmax}_2$ 分别表示在第一个 $(n)$、第二个维度 $(d)$ 进行 Softmax 运算。也就是说，这时候我们是各自给 $\boldsymbol {Q},\boldsymbol {K}$ 加 Softmax，而不是算完 $\boldsymbol {QK^{\top}}$ 之后再加 Softmax

其实可以证明这个形式也是式 (4)​的一个特例，此时对应于 $\phi (\boldsymbol {q}_i)=\text {Softmax}(\boldsymbol {q}_i),\varphi (\boldsymbol {k}_j)=e^{\boldsymbol {k}_j}$，读者可以自行推导一下

苏神的构思

在这里，苏神给出了一种构思。这个构思的出发点不再是式 (4)，而是源于我们对原始定义 (2)​的泰勒展开。由泰勒展开我们有

$$ \begin{equation}e^{\boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j} \approx 1 + \boldsymbol{q}_i^{\top}\boldsymbol{k}_j\tag{6}\end{equation} $$

如果 $\boldsymbol {q}_i^{\top}\boldsymbol {k}_j\geq -1$，那么就可以保证右端的非负性，从而可以让 $\text {sim}(\boldsymbol {q}_i, \boldsymbol {k}_j)=1 + \boldsymbol {q}_i^{\top}\boldsymbol {k}_j$。到这里读者可能已经想到了，想要保证 $\boldsymbol {q}_i^{\top}\boldsymbol {k}_j\geq -1$，只需要分别对 $\boldsymbol {q}_i,\boldsymbol {k}_j$ 做 $l_2$ 归一化。所以，苏神最终提出的方案就是：

$$ \begin{equation}\text{sim}(\boldsymbol{q}_i, \boldsymbol{k}_j) = 1 + \left( \frac{\boldsymbol{q}_i}{\Vert \boldsymbol{q}_i\Vert}\right)^{\top}\left(\frac{\boldsymbol{k}_j}{\Vert \boldsymbol{k}_j\Vert}\right)\tag{7}\end{equation} $$

若 $\boldsymbol {x}=[x_1,x_2,...,x_n]$，则 $\Vert x\Vert=\sqrt {x_1^2+x_2^2+・・・+x_n^2}$

这不同于式 (4)，但理论上它更加接近原始的 Scaled-Dot Attention

实现

这里主要是针对苏神所提出的方法进行实现，但是由于笔者本人水平有限，因此最终实现的代码当中其实存在一些问题，主要是：

1. 从测试结果来看，改进后的计算速度并没有提升
2. 无法做到求和为 1

代码实现主要是针对 BERT 的 PyTorch 实现这篇文章的代码，更具体的说，其实仅修改了 ScaledDotProductAttention 这个函数，因此下面只放出这部分代码

class ScaledDotProductAttention(nn.Module):
    def __init__(self):
        super(ScaledDotProductAttention, self).__init__()

    def forward(self, Q, K, V, attn_mask):
        Q = F.normalize(Q, dim=3)
        K = F.normalize(K, dim=3)
        M = (torch.ones(Q.shape[0], Q.shape[1], Q.shape[2], K.shape[2]) + torch.matmul(Q, K.transpose(-1, -2))) # scores : [batch_size, n_heads, seq_len, seq_len]
        M_sum = torch.sum(M, dim=3)
        M = M / M_sum.unsqueeze(3).repeat(1, 1, 1, M.shape[3])
        attn = M.masked_fill(attn_mask, 0) # Fills elements of self tensor with value where mask is one.
        context = torch.matmul(attn, V)
        return context

如果您有更好的实现方法，还望不吝赐教

Reference

• 线性 Attention 的探索：Attention 必须有个 Softmax 吗？