矩阵分析（九）Gram矩阵

欧氏空间

$V$是$\mathbb{R}$上的线性空间，定义映射

$$ \sigma: V\times V \to \mathbb{R} $$

对于$\alpha, \beta \in V$，将$\sigma(\alpha, \beta)$记为$\left<\alpha, \beta\right>$，若$\sigma$满足：

1. 对称性：$\left<\alpha.\beta\right>=\left<\beta, \alpha\right>$
2. （右）齐次性：$\left<\alpha, k\beta\right>=k\left<\alpha,\beta\right>$
3. （右）可加性：$\left<\alpha, \beta+\gamma\right>=\left<\alpha,\beta\right>+\left<\alpha, \gamma\right>$
4. 非负性：$\left<\alpha,\alpha\right>≥0$，且$\left<\alpha,\alpha\right>=0\Leftrightarrow\alpha=0$

则称$\sigma$为$V$上的（实）内积，当$V$是有限维时，称其为欧氏空间（$\mathbb{R}^n$为标准欧氏空间）

实际上$\alpha$是一个向量，$\beta$是一个向量，$\left<\alpha, \beta\right>$表示向量$\alpha$与向量$\beta$的内积，结果是一个实数

实内积的性质

1. （左）齐次性：$\left<k\alpha, \beta\right>=k\left<\alpha,\beta\right>$
2. （左）可加性：$\left<\alpha+\beta, \gamma\right>=\left<\alpha,\gamma\right>+\left<\beta, \gamma\right>$
3. $\left<k_1\alpha_1+···+k_s\alpha_s,\beta\right>=k_1\left<\alpha_1,\beta\right>+···k_s\left<\alpha_s,\beta\right>$
4. $\left<\alpha,k_1\beta_1+···+k_s\beta_s\right>=k_1\left<\alpha,\beta_1\right>+···k_s\left<\alpha,\beta_s\right>$

复内积

$V$是$\mathbb{C}$上的线性空间，定义映射

$$ \sigma: V\times V \to \mathbb{C} $$

对于$\alpha, \beta \in V$，将$\sigma(\alpha, \beta)$记为$\left<\alpha, \beta\right>$，若$\sigma$满足：

1. 共轭对称性：$\left<\alpha.\beta\right>=\overline{\left<\beta, \alpha\right>}$
2. （右）齐次性：$\left<\alpha, k\beta\right>=k\left<\alpha,\beta\right>$
3. （右）可加性：$\left<\alpha, \beta+\gamma\right>=\left<\alpha,\beta\right>+\left<\alpha, \gamma\right>$
4. 非负性：$\left<\alpha,\alpha\right>≥0$，且$\left<\alpha,\alpha\right>=0\Leftrightarrow\alpha=0$

则称$\sigma$为$V$上的（复）内积，当$V$是有限维时，称其为酉空间（$\mathbb{R}^n$为标准欧氏空间）

复内积的性质

1. （左）齐次性：$\left<k\alpha, \beta\right>=\bar{k}\left<\alpha,\beta\right>$
2. （左）可加性：$\left<\alpha+\beta, \gamma\right>=\left<\alpha,\gamma\right>+\left<\beta, \gamma\right>$
3. $\left<k_1\alpha_1+···+k_s\alpha_s,\beta\right>=\overline{k_1}\left<\alpha_1,\beta\right>+···\overline{k_s}\left<\alpha_s,\beta\right>$
4. $\left<\alpha,k_1\beta_1+···+k_s\beta_s\right>=k_1\left<\alpha,\beta_1\right>+···k_s\left<\alpha,\beta_s\right>$

线性组合的内积的矩阵表示

$\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t$是$\mathbb{C}$上的内积空间$V$中的两个向量组，则

$$ \begin{aligned} \left<k_1\alpha_1+···+k_s\alpha_s,l_1\beta_1+···+l_t\beta_t\right>\\ =(\overline{k_1},...,\overline{k_s})\begin{bmatrix}\left<\alpha_1,\beta_1\right>&\cdots &\left<\alpha_1,\beta_t\right>\\ \vdots & \ddots &\vdots \\\left<\alpha_s,\beta_1\right> &\cdots & \left<\alpha_s,\beta_t\right>\end{bmatrix}\begin{bmatrix}l_1\\ \vdots \\ l_t\end{bmatrix} \end{aligned} $$

Gram矩阵

$\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t$是$\mathbb{C}$上的内积空间$V$中的两个向量组，则

$$ \begin{bmatrix}\left<\alpha_1,\beta_1\right>&\cdots &\left<\alpha_1,\beta_t\right>\\ \vdots & \ddots &\vdots \\\left<\alpha_s,\beta_1\right> &\cdots & \left<\alpha_s,\beta_t\right>\end{bmatrix} $$

称为$\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t$的协Gram矩阵，记为$G(\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t)$

$\alpha_1,...,\alpha_s$是$\mathbb{C}$上的内积空间$V$中的一个向量组，则

$$ \begin{bmatrix}\left<\alpha_1,\beta_1\right>&\cdots &\left<\alpha_1,\beta_t\right>\\ \vdots & \ddots &\vdots \\\left<\alpha_s,\beta_1\right> &\cdots & \left<\alpha_s,\beta_t\right>\end{bmatrix} $$

称为$\alpha_1,...,\alpha_s$的Gram矩阵，记为$G(\alpha_1,...,\alpha_s)$

$\alpha_1,...,\alpha_s$是$\mathbb{C}^n$中的一个向量组，记$A=(\alpha_1,...,\alpha_s)$，则

$$ G(\alpha_1,...,\alpha_s)=A^HA $$

其中，$A^H=(\bar{A})^T=\overline{(A^T)}$

$\alpha_1,...,\alpha_s$是$\mathbb{R}^n$中的一个向量组，记$A=(\alpha_1,...,\alpha_s)$，则

$$ G(\alpha_1,...,\alpha_s)=A^TA $$

$\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t$是$\mathbb{C}$上的内积空间$V$中的两个向量组，如果$\alpha_1,...,\alpha_s$可由$\beta_1,...,\beta_t$线性表出，且

$$ (\alpha_1,...,\alpha_s)=(\beta_1,...,\beta_t)A $$

则

$$ G(\alpha_1,...,\alpha_s)=A^HG(\beta_1,...,\beta_t)A $$

Gram矩阵的性质

1. $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(\alpha_1,...,\alpha_s)$
2. Hermite性：$G^H=G$
3. 非负性：$\forall x\in \mathbb{C}^s$，复二次型$x^HGx≥0$，并且$G$正定$\Leftrightarrow \alpha_1,...,\alpha_s$线性无关