矩阵分析（八）λ矩阵和Jordan分块

多项式

定义：$n$是非负整数，$\mathbb{F}$是一个数域，$a_0,a_1,...,a_n\in\mathbb{F}$

$$ f(\lambda)=a_n\lambda^n+a_{n-1}\lambda^{n-1}+···a_1\lambda+a_0 $$

称为数域上关于$\lambda$的一元多项式

如果$a_n\neq 0$，则称$a_n\lambda^n$为$f(\lambda)$的首项，$n$称为多项式的次数，记为$\partial(f(\lambda))$，于是$\partial(f(\lambda))=n$

如果$a_0=a_1=···=a_n=0$，称该多项式为零多项式，规定$\partial(f(\lambda))=-∞$

如果$a_0\neq 0, a_1=···=a_n=0$，称该多项式为零次多项式，$\partial(f(\lambda))=0$，即该多项式为非零常数

多项式的带余除法

定义：$f(\lambda),g(\lambda)\in\mathbb{F}[\lambda]$，如果$g(\lambda)\neq 0$，则存在$q(\lambda),r(\lambda)\in \mathbb{F}[\lambda]$，使得

$$ f(\lambda)=g(\lambda)q(\lambda)+r(\lambda) $$

其中，要么$r(\lambda)=0$，要么$r(\lambda)\neq 0$且$\partial(r(\lambda))<\partial(g(\lambda))$

$q(\lambda)$称为$g(\lambda)$除$f(\lambda)$的商，$r(\lambda)$称为余式

如果$r(\lambda)=0$，则称$g(\lambda)$整除$f(\lambda)$，记为$g(\lambda)|f(\lambda)$

多项式的公因式，公倍式

• $f(\lambda),g(\lambda),d(\lambda)\in \mathbb{F}[\lambda]$，如果$d(\lambda)|f(\lambda)$且$d(\lambda)|g(\lambda)$，则称$d(\lambda)$为$f(\lambda),g(\lambda)$的公因式
• $f(\lambda),g(\lambda),d(\lambda)\in \mathbb{F}[\lambda]$，如果$f(\lambda)|d(\lambda)$且$g(\lambda)|d(\lambda)$，则称$d(\lambda)$为$f(\lambda),g(\lambda)$的公倍式
• 最大公因式GCD：次数最大的公因式
• 最小公倍式LCM：次数最小的公倍式

如果$GCD(f(\lambda),g(\lambda))=1$，$f(\lambda)$和$g(\lambda)$称为互质

质因式分解

$$ f(\lambda)=(q_1(\lambda))^{r_1}(q_2(\lambda))^{r_2}···(q_s(\lambda))^{r_s} $$

其中$q_i(\lambda)$为不可约多项式，即$q_i(\lambda)$不能表示成两个次数比$q_i(\lambda)$低的多项式的乘积

类比实数域中的，任何一个合数都可以分解为几个质数的乘积

一个多项式是否可约，关键要看数域$\mathbb{F}$，例如

$$ \mathbb{F}=\mathbb{R},\ \lambda^2+1,\ 不可约\\ \mathbb{F}=\mathbb{C},\ \lambda^2+1=(\lambda+i)(\lambda-i),\ 可约 $$

常见数域的不可约多项式

$\mathbb{R}[\lambda]$上不可约多项式只有两种

$$ \begin{aligned} &a\lambda+b \ \ (a,b\in \mathbb{R}\ \&\ a\neq 0)\\ &a\lambda^2+b\lambda+c \ \ (a, b, c\in \mathbb{R} \ \& \ a\neq 0 \ \& \ b^2-4ac < 0) \end{aligned} $$

$\mathbb{C}[\lambda]$上不可约多项式只有一种

$$ a\lambda+b \ \ (a,b\in \mathbb{C}\ \&\ a\neq 0) $$

$\lambda$矩阵

以多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵，简称为$\lambda$矩阵。记号$\mathbb{F}^{m\times n}[\lambda]$表示所有$m$行$n$列的$\lambda$矩阵的集合，矩阵的元素是系数在$\mathbb{F}$中的$\lambda$的多项式。也就是说，$A(\lambda)\in \mathbb{F}^{m\times n}[\lambda]$表示$A(\lambda)=[a_{ij}(\lambda)]_{m\times n}$，其中，$a_{ij}(\lambda)\in \mathbb{F}[\lambda]$

方阵$A$的特征矩阵$\lambda I-A$也是$\lambda$矩阵，例如

$$ A = (a_{ij})_{n\times m}\\ \lambda I-A = \begin{bmatrix}\lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots &-a_{1n}\\-a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots & -a_{2n}\\ \vdots \\-a_{n1}&-a_{n2}&\cdots & \lambda-a_{nn}\end{bmatrix} $$

数字矩阵是$\lambda$矩阵的特例（由零多项式或零次多项式为元素构成的矩阵）

以多项式为元素的矩阵和以矩阵为系数的多项式

如

$$ A(\lambda)=\begin{bmatrix}\lambda^2+\lambda+1&\lambda-1\\2\lambda&1\end{bmatrix} $$

可以写成

$$ A(\lambda)=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\lambda^2+\begin{bmatrix}1&1\\2&0\end{bmatrix}\lambda+\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix} $$

多项式矩阵和通常矩阵的主要区别在于：其元素所在的运算系统——多项式环$\mathbb{F}[x]$——不是一个域，所以通常矩阵的性质中，涉及到除法的，对于多项式矩阵不再成立

$\lambda$矩阵的秩

$\lambda$矩阵的秩，也用rank表示，是指其值为非零多项式的子行列式的最大阶数。换言之，多项式矩阵的秩为$r$是指：存在$r$阶子行列式，其值为非零多项式；且所有阶数$≥r+1$的子行列式的值均为零多项式。零矩阵的秩为0

可逆的$\lambda$矩阵

一个$n$阶$\lambda$矩阵是可逆的，若存在多项式矩阵$V(\lambda)\in \mathbb{F}^{n\times n}[\lambda]$使得

$$ U(\lambda)V(\lambda)=V(\lambda)U(\lambda)=I_n $$

这里$I_n$是$n$阶单位阵，其中称为$U(\lambda)$的逆矩阵，记为$U^{-1}(\lambda)$

定理：一个$n$阶$\lambda$矩阵$U(\lambda)$可逆的充要条件是$\det U(\lambda)$是一个非零常数

注：$n$阶$\lambda$矩阵$U(\lambda)$的秩为$n$，不等价于$U(\lambda)$可逆，这是与数字矩阵不相同之处，例如$U(\lambda)=\begin{bmatrix}\lambda &1\\1&\lambda\end{bmatrix}$的秩为2，但是它不可逆

Jordan块

定义形如$J(\lambda_i)\begin{bmatrix}\lambda_i&1\\&\lambda_i&\ddots\\&&\ddots&1\\&&&\lambda_i\end{bmatrix}_{k\times k}$的矩阵称为Jordan块。Jordan块是一个上三角矩阵，其主对角线上的元素均相等；主对角线上面一条斜线的元素均为1；其余元素均为0

特殊地，当$k=1$时，一阶Jordan块是$[\lambda_i]$

Jordan形矩阵

形如$J=\begin{bmatrix}J(\lambda_1)\\&J(\lambda_2)\\&&\ddots\\&&&J(\lambda_s)\end{bmatrix}$（其中$J(\lambda_i)$均为Jordan块）的矩阵称为Jordan形矩阵。Jordan形矩阵是一个分块对角阵，其中每一个小分块都是Jordan块

Jordan标准形

若矩阵$A$与Jordan形矩阵$J$相似，则称$J$是$A$的Jordan标准形

例1

判断下列矩阵是否为Jordan形矩阵

$$ \begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&1&0\\0&2&1\\0&0&2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&1&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}2&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&1&0\\0&0&2&0\\0&0&0&1\end{bmatrix} $$

解：对于正确的Jordan形矩阵，用黑线给出了分块形式；对于错误的Jordan形矩阵，指出了需要修改的元素

Jordan标准形的存在性、唯一性

对矩阵$A$的Jordan标准形中每个分块改变排列顺序，得到的依然是Jordan标准形

若$J=\begin{bmatrix}J_1\\&J_2\\&&\ddots\\&&&J_s\end{bmatrix}$是矩阵$A$的Jordan标准形，而$K=\begin{bmatrix}J_{i_1}\\&J_{i_2}\\&&\ddots \\&&&J_{i_s}\end{bmatrix}$，其中$J_{i_1},J_{i_2},...,J_{i_s}$是$J_1,J_2,...,J_s$的一个排列，则$K$也是$A$的Jordan标准形

那么所谓的Jordan标准形的唯一性是如何定义的呢？除了相差Jordan块的次序外，矩阵的Jordan标准形是存在的、唯一的

性质

1. 若$A$与$J$相似，$\lambda_0$是数，则对一切正整数$k$，$\mathrm{rank}((A-\lambda_0E)^k)=\mathrm{rank}((J-\lambda_0E)^k)$
2. 若$n\times n$矩阵$N=\begin{bmatrix}0&1\\&0&\ddots\\&&\ddots&1\\&&&1\end{bmatrix}$，则$\mathrm{rank}(N^{k-1})-\mathrm{rank}(N^k)=\begin{cases}1,若k≤n\\0,若k>n\end{cases}$
3. 若$J$是Jordan矩阵，则$\mathrm{rank}((J-\lambda_0E)^{k-1})-\mathrm{rank}((J-\lambda_0E)^l)$等于$J$中阶数$≥k$的，以$\lambda_0$为主对角元的Jordan块的块数

定理

设$\lambda_0$是矩阵$A$的特征值，则$A$的Jordan标准形中以$\lambda_0$为主对角元的$k$阶Jordan块的块数为

$$ \mathrm{rank}(B^{k-1})-2·\mathrm{rank}(B^k)+\mathrm{rank}(B^{k+1}) $$

其中，$B=A-\lambda_0E$

根据这个定理，我们只要针对矩阵$A$的每一个特征值$\lambda_0$，依次求解相应于这个特征值的每一阶Jordan块的块数，就可以把矩阵$A$的Jordan标准形完全求解出来。但实际上，这一工作需要大量的计算，在实际中不会采用。我们只需要明确，根据一个矩阵$A$的特征值、$A-\lambda_0E$、阶数$k$等信息就能够完全确定矩阵$A$对应的Jordan标准形

Jordan标准形的求法

• 求矩阵$A$的特征多项式$|\lambda E-A| = (\lambda - \lambda_1)^{k_1}(\lambda-\lambda_2)^{k_2}...(\lambda - \lambda_s)^{k_s}$，其中$k_i$是特征值$\lambda_i$的代数重数，决定了对角线上特征值$\lambda_i$的个数；

• 对$\lambda_i$，由$(A-\lambda_i E)X=0$，求$A$的线性无关的特征向量$\alpha_1,\alpha_2, ...,\alpha_{t_i}$，其中$t_i$是特征值$\lambda_i$的几何重数，决定了Jordan块的个数；

  • 如果$k_i = t_i$，即代数重数等于几何重数，说明$\lambda_i$对应的Jordan块是对角阵；
  • 如果$t_i < k_i$，就选择合适的特征向量$\alpha_j$，利用方程${\color{red} {(A-\lambda_i E) = \alpha_j}}$求Jordan链，确定每一个小Jordan块的阶数。
• 将所有特征值$\lambda_i$对应的Jordan块组合起来，形成Jordan矩阵$J_A$

例2

求矩阵$A=\begin{bmatrix}-1&-2&6\\-1&0&3\\-1&-1&4\end{bmatrix}$的Jordan标准形

解：容易求得矩阵$A$的特征多项式为$C(\lambda)=(\lambda-1)^3$，所以$A$的Jordan标准形矩阵只可能是以下三种情况

$$ \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix} $$

验证第一个矩阵，若$A$与$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$相似，那么存在一个可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP=J=E$，则$AP=P$，即$A=E$，与题意不符，故排除

验证第二和第三个矩阵，记第二个矩阵为$J_2$，第三个矩阵为$J_3$，通过计算得$\mathrm{rank}(J_2-E)=1,\mathrm{rank}(J_3-E)=2$，因为矩阵$A$相似于$J$，所以有$\mathrm{rank}(A-E)=\mathrm{rank}(J-E)$，通过计算得$\mathrm{rank}(A-E)=1$，由此可知最终的Jordan标准形矩阵就是$J_2$

例3

求矩阵$B=\begin{bmatrix}13&16&16\\-5&-7&-6\\-6&-8&-7\end{bmatrix}$的Jordan标准形

解：容易求得矩阵$B$的特征多项式为$C(\lambda)=(\lambda+3)(\lambda-1)^2$，所以$B$的Jordan标准形只可能是以下两种情况

$$ J_1=\begin{bmatrix}-3&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\\ J_2=\begin{bmatrix}-3&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix} $$

通过计算得$\mathrm{rank}(J_1-E)=1,\mathrm{rank}(J_2-E)=2$，因为$\mathrm{rank}(B-E)=2$，所以最终的Jordan标准形矩阵就是$J_2$

例4

用初等变换把$\lambda$矩阵$\begin{bmatrix}1-\lambda&\lambda^2&\lambda\\\lambda&\lambda&-\lambda\\1+\lambda^2&\lambda^2&\lambda\end{bmatrix}$化为标准形

解：

$$ \begin{aligned} \begin{bmatrix}1-\lambda&\lambda^2&\lambda\\\lambda&\lambda&-\lambda\\1+\lambda^2&\lambda^2&\lambda\end{bmatrix}&\to\begin{bmatrix}1&0&\lambda\\0&\lambda+\lambda^2&-\lambda\\1+\lambda+\lambda^2&0&\lambda\end{bmatrix}\\ &\to\begin{bmatrix}1&0&\lambda\\0&\lambda+\lambda^2&-\lambda\\0&0&-\lambda^3-\lambda^2\end{bmatrix}\\ &\to\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\lambda+\lambda^2&-\lambda\\0&0&-\lambda^3-\lambda^2\end{bmatrix}\\ &\to\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda^2(1+\lambda^2)\end{bmatrix} \end{aligned} $$

例5

证明：Jordan块

$$ J(a)=\begin{bmatrix}a&1&0\\0&a&1\\0&0&a\end{bmatrix} $$

相似于矩阵

$$ \begin{bmatrix}a&\epsilon &0\\0&a&\epsilon\\0&0&a\end{bmatrix} $$

其中$\epsilon \neq 0$为任意实数

证：由定理$A\sim B$的充要条件是$A,B$有相同的不变因子，即判断下面两个$\lambda$矩阵

$$ \begin{bmatrix}\lambda -a&-1&0\\0&\lambda-a&-1\\0&0&\lambda-a\end{bmatrix},\begin{bmatrix}\lambda-a&-\epsilon&0\\0&\lambda-a&-\epsilon\\0&0&\lambda-a\end{bmatrix} $$

是否等价，容易求出这两个$\lambda$矩阵的不变因子均为$1,1,(\lambda-a)^2$，故$J(a)$与$\begin{bmatrix}a&\epsilon &0\\0&a&\epsilon\\0&0&a\end{bmatrix}$相似

例6

已知10阶矩阵$A=\begin{bmatrix}a&1\\&a&1\\&&\ddots&\ddots\\&&&\ddots &1\\&&&&a\end{bmatrix}_{10\times 10},B=\begin{bmatrix}a&1\\&a&1\\&&\ddots&\ddots\\&&&\ddots &1\\\epsilon&&&&a\end{bmatrix}_{10\times 10}$，其中$\epsilon=10^{-10}$，证明$A\nsim B$

证：只需判断$\lambda E-A$与$\lambda E-B$是否等价，对于$\lambda$矩阵

$$ A=\begin{bmatrix}\lambda-a&-1\\&\lambda-a&-1\\&&\ddots&\ddots\\&&&\ddots &-1\\&&&&\lambda-a\end{bmatrix}_{10\times 10} $$

其不变因子为$1,1,...,(\lambda-a)^{10}$；对于$\lambda$矩阵

$$ B=\begin{bmatrix}\lambda-a&-1\\&\lambda-a&-1\\&&\ddots&\ddots\\&&&\ddots &-1\\-\epsilon&&&&\lambda-a\end{bmatrix}_{10\times 10} $$

其不变因子为$1,1,...,(\lambda-a)^{10}-\epsilon$，显然$A$与$B$不具有相同的不变因子，从而$A\nsim B$

例7

设$A\neq 0,A^k=0\ \ (k≥2)$，证明$A$不能与对角矩阵相似

证：用反证法，设$A$可以对角化，则存在可逆矩阵$P$使得

$$ P^{-1}AP=\begin{bmatrix}\lambda_1\\&\ddots\\&&\lambda_n\end{bmatrix} $$

因为$A^k=0$，所以

$$ A^k=(P\begin{bmatrix}\lambda_1\\&\ddots\\&&\lambda_n\end{bmatrix}P^{-1})^k=0 $$

即

$$ \begin{bmatrix}\lambda_1\\&\ddots\\&&\lambda_n\end{bmatrix}=0 $$

由此可知$\lambda_1=\lambda_2=···=\lambda_n=0$，故$P^{-1}AP=\begin{bmatrix}0\\&\ddots\\&&0\end{bmatrix}$，这表明$A=0$，与已知$A\neq 0$矛盾，故$A$不能与对角矩阵相似

例8

已知$A^2=A$，证明$A$相似于矩阵$\begin{bmatrix}1\\&\ddots\\&&1\\&&&0\\&&&&\ddots\\&&&&&0\end{bmatrix}$

证：设矩阵$A$的Jordan标准形为

$$ J=\begin{bmatrix}J_1\\&J_2\\&&\ddots\\&&&J_s\end{bmatrix},J_i=\begin{bmatrix}\lambda_i&1\\&\lambda_i&1\\&&\ddots&\ddots\\&&&&1\\&&&&\lambda_i\end{bmatrix}_{n_i\times n_i} $$

则存在可逆矩阵$P$，使$P^{-1}A^kP=J$

由于$A^2=A$，所以$J^2=(P^{-1}AP)=P^{-1}A^2P=J=P^{-1}AP$，则

$$ J_i^2=J_i,\quad{i=1,2,...,s} $$

即

$$ \begin{bmatrix}\lambda_i^2&2\lambda_i&1&0&\cdots&0\\0&\lambda_i^2&2\lambda_i&1\\\vdots &&&\ddots&\ddots&\vdots\\&&&&&1\\&&&&&2\lambda_i\\0&&\cdots &&0 &\lambda_i^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_i&1\\&\lambda_i&1\\&&\ddots&\ddots\\&&&&1\\&&&&\lambda_i\end{bmatrix} $$

从而$\lambda_i=0$或$\lambda_i=1$，所以$J$为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1或0，只当调整对角线上元素的顺序，可得方阵$\begin{bmatrix}1\\&\ddots\\&&1\\&&&0\\&&&&\ddots\\&&&&&0\end{bmatrix}$

而且$A$相似于此方阵

例9

求矩阵$A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&2&0\\-2&-2&1\end{bmatrix}$的Jordan标准形及其变换矩阵$P$

解：因为

$$ \lambda E-A=\begin{bmatrix}\lambda-1&-2&0\\0&\lambda-2&0\\2&2&\lambda-1\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1\\&1\\&&(\lambda-2)(\lambda-1)^2\end{bmatrix} $$

所以$A$的Jordan标准形可能为

$$ \begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix} $$

因为$\mathrm{rank}(E-A)=2$，故$A$的Jordan标准形只能是$J=\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}$

故$\exists P$，使得$AP=PJ$，令$P=[X_1,X_2,X_3]$，则

$$ [AX_1,AX_2,AX_3]=[X_1,X_2,X_3]\begin{bmatrix}2&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{cases}AX_1=2X_1\\AX_2=X_2\\AX_3=X_2+X_3\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases}(2E-A)X_1=0\\(E-A)X_2=0\\(E-A)X_2=X_3\end{cases} $$

由齐次线性方程组$(2E-A)X_1=0$可得$X_1=[2,1,-6]^T$

由齐次线性方程租$(E-A)X_2=0$可得$X_2=[0,0,1]^T$，带入$(E-A)X_2=X_3$得$X_3=[-\frac{1}{2},0,0]^T$

所以$P=[X_1,X_2,X_3]=\begin{bmatrix}2&0&-\frac{1}{2}\\3&0&0\\-6&1&0\end{bmatrix}$

例10

已知$A=\begin{bmatrix}2&1&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}$，求$A^{100}$

解：

$$ \lambda E-A=\begin{bmatrix}\lambda-2&-1&0\\0&\lambda&-1\\0&-1&\lambda\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}1\\&1\\&(\lambda^2-1)(\lambda-2)\end{bmatrix} $$

所以$A$的Jordan标准形为$J=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}$

故$\exists P$，使得$AP=PJ$，令$P=[X_1,X_2,X_3]$，则

$$ [AX_1,AX_2,AX_3]=[X_1,X_2,X_3]\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}\\ \Rightarrow \begin{cases}AX_1=-X_1\\AX_2=X_2\\AX_3=2X_3\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases}(E+A)X_1=0\\(E-A)X_2=0\\(2E-A)X_3=0\end{cases}\\ \Rightarrow \begin{cases}X_1=(1,-3,3)^T\\X_2=(-1,1,1)^T\\X_3=(1,0,0)^T\end{cases} $$

所以$P=\begin{bmatrix}1&-1&1\\-3&1&0\\3&1&0\end{bmatrix},P^{-1}=\begin{bmatrix}0&-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&\frac{2}{3}&\frac{1}3\end{bmatrix}$，则

$$ \begin{aligned} A^{100}&=PJ^{100}P^{-1}\\ &=\begin{bmatrix}1&-1&1\\-3&1&0\\3&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}(-1)^{100}&0&0\\0&1^{100}&0\\0&0&2^{100}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&\frac{2}{3}&\frac{1}3\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}1&-1&2^{100}\\-3&1&0\\3&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&\frac{2}{3}&\frac{1}3\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}2^{100}&\frac{2^{99}-2}{3}&\frac{2^{100}-1}{3}\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \end{aligned} $$