多层感知机模型讲解

具有多层输出的感知机如下图所示：
图中节点上的符号表示的含义是：

• $x^1_k$ 代表第 1 层上的第 k 个节点
• $O^1_k$ 同样代表第 1 层上的第 k 个节点

若能求出 $\frac {\nabla E}{\nabla w_{jk}}$ 的结果，便可知道所有的梯度信息

Derivative

首先我们定义 $E=\frac {1}{2}\sum_i (O^1_i - t_i)^2$

$$ \begin{align*} \frac{\nabla E}{\nabla{w_{jk}}} &= (O^1_k - t_k)\frac{\nabla O^1_k}{\nabla w_{jk}} \\ &= (O^1_k - t_k)\frac{\nabla \sigma(x^1_k)}{\nabla w_{jk}} \\ &= (O_k^1-t_k)\sigma(x_k^1)(1-\sigma(x_k^1))\frac{\nabla x_k^1}{\nabla w_{jk}} \\ &= (O_k^1-t_k)O^1_k(1-O^1_k)x^0_j \\ \end{align*} $$

由推导结果可看出，一条边上的输出结果只与该线上的输入值 $x^0_j$ 和 $O^1_k$，因此对于一个多输出的感知机，对比单输出的感知机，改变了输出节点上的取值。单层为 $O_0$，多层为 $(O_k^1-t_k)$

import torch
import torch.nn.functional as F

x = torch.randn(1,10) # dim=1,len=10, x为[1,10]的矩阵
w = torch.randn(2, 10, requires_grad=True) # w为[2,10]的矩阵

o = torch.sigmoid(x@w.t()) # o为[1,2]的矩阵
print("o.shape: ", o.shape)

loss = F.mse_loss(input=o, target=torch.ones(1, 2))
print("loss: ", loss)
loss.backward()
print("w.grad: ", w.grad)