小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。
随后，小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。
对第 x 行第 y 列的硬币进行 Q 操作的定义：将所有第 i*x 行，第 j*y 列的硬币进行翻转。
其中 i 和 j 为任意使操作可行的正整数，行号和列号都是从 1 开始。
当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后，他发现了一个奇迹 —— 所有硬币均为正面朝上。
小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是，他向他的好朋友小 M 寻求帮助。
聪明的小 M 告诉小明，只需要对所有硬币再进行一次 Q 操作，即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒，不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。
【数据格式】
输入数据包含一行，两个正整数 n m，含义见题目描述。
输出一个正整数，表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。
【样例输入】
2 3
【样例输出】
1
【数据规模】
对于 10% 的数据，n、m <= 10^3；
对于 20% 的数据，n、m <= 10^7；
对于 40% 的数据，n、m <= 10^15；
对于 10% 的数据，n、m <= 10^1000（10 的 1000 次方）。
资源约定：
峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
CPU 消耗 < 2000ms
思路
最后一道编程题，有点水平的，还是要好好写写题解
考虑一般的情况，对于某个矩阵位置 $(x,y)$ 反向回推，$(x,y)$ 初始状态是正面向上的，经过若干次翻转行，列以后导致他变成反面向上，很明显，这个 "若干次"，一定是奇数次
$x$ 的因子假设为 $x_1,x_2...x_p$，$y$ 的因子假设为 $y_1,y_2...y_q$，这些因子两两任意组合就能构成 $p\times q$ 个点。
也就是说，如果 $x$ 的因子个数 $p$ 乘以 $y$ 的因子个数 $q$ 为奇数，那么 $(x,y)$ 就是反面朝上的了。因为只有奇数 $\times$ 奇数 $=$ 奇数，所以要求 $x$ 的因子个数和 $y$ 的因子个数必须都为奇数。又因为只有完全平方数的因子个数为奇数，所以问题就转化成了，判断 $x$ 和 $y$ 是否同时是完全平方数。到这里已经可以拿 20% 的分了
由于 $n$ 和 $m$ 的范围太大，所以不能每个坐标去枚举是否是完全平方数。这里就要用到另一个重要的性质：$1-n$ 内完全平方数的个数为 $\sqrt {n}$ 个
$1-n$ 内完全平方数有 $x_1,x_2,...x_{\sqrt {n}}$，$1-m$ 内完全平方数有 $y_1,y_2,...,y_{\sqrt {m}}$，两两组合总共有 $\sqrt {n}\times \sqrt {m}$ 个点最终反面朝上
但是由于这题 $n$ 和 $m$ 太大，所以需要手动实现一个大数开根号的方法，其中还有一个性质：一个数的长度为 $n$，开方以后的数长度为 $\frac {n}{2}$
- import java.math.BigInteger;
- import java.util.Arrays;
- import java.util.Scanner;
-
- public class Main {
-
- public static void main(String[] args) {
- Scanner cin = new Scanner(System.in);
- String n = cin.next();
- String m = cin.next();
- System.out.println(sqrt(n).multiply(sqrt(m)));
- }
-
- private static BigInteger sqrt(String s) {
- int length = s.length();
- int len = length % 2 == 0 ? length >> 1 : (length >> 1) + 1;
- char[] arr = new char[len];
- Arrays.fill(arr, '0');
- BigInteger target = new BigInteger(s);
- for (int pos = 0; pos < len; pos++) {
- for (char c = '1'; c <= '9'; c++) {
- arr[pos] = c;
- BigInteger pow = new BigInteger(String.valueOf(arr)).pow(2);
- if (pow.compareTo(target) == 1) {// pow bigger than target
- arr[pos] -= 1;
- break;
- }
- }
- }
- return new BigInteger(String.valueOf(arr));
- }
- }
