RSA加密算法原理

RSA概述

RSA加密算法是一种非对称加密算法。在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用。RSA是1977年由罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。当时他们三人都在麻省理工学院工作。RSA就是他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的

数论基础

其实RSA加密算法最主要的就是两个公式，在理解这两个公式之前需要学习数论中的四个概念：互质、欧拉函数、欧拉定理、模反元素

互质

如果两个正整数，除了1以外没有其他公因子，则称这两个数互质，比如6和21的公因子有3和1，所以6和21就不互质；而10和21只有一个公因子1，所以它们互质。不是质数也可以构成互质关系

只要满足以下几点就可构成互质关系：

任意两个质数构成互质关系，比如13和61
1和任意一个自然数是都是互质关系，比如1和99
p是大于1的整数，则p和p-1构成互质关系，比如57和56
p是大于1的奇数，则p和p-2构成互质关系，比如17和15
如果两个数之中，较大的那个数是质数，则两者构成互质关系，比如97和10
一个数是质数，另一个数只要不是前者的倍数，两者就构成互质关系，比如3和10

欧拉函数

请问10以内的正整数有哪些与10互质呢？

答案是：{1,3,7,9}，10以内用手就可以算的过来，那100呢？1000呢？数字越大越难手算出来，有公式可以计算，就是欧拉函数

欧拉函数以$\psi(n)$表示。在1到10之中，与10形成互质关系的是{1,3,7,9}，所以$\psi(10) = 4$

$\psi(n)$的计算方法并不复杂，推到步骤可以在网上找到，这里只要记住最终结论就行

第一种情况

如果n = 1，则$\psi(1)=1$，因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系

第二种情况

如果n是质数，则$\psi(n) = n - 1$。因为质数与小于他的每一个数都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系

第三种情况

如果n是质数的某一个次方值，即$n = p^k$（p为质数，k为大于等于1的整数），则：

$$ \psi(p^k) = p^k - p^{k-1} $$

例如，$\psi(8) = \psi(2^3) = 2^3 - 2^2 = 4$

这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质，而包含质数p的数共有$p^{k-1}$个，即$p,2p,3p...p^k$，把他们去除，剩下的就是与n互质的数

上面的式子还可以写成下面的形式：

$$ \psi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^k(1-\frac{1}{p}) $$

可以看出，上面的第二种情况是k=1时的特例

第四种情况
如果n可以分解成两个互质的整数之积$n = p_1 * p_2$，则：

$$ \psi(n) = \psi(p_1p_2) = \psi(p_1)\psi(p_2) $$

积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。例如，$\psi(56) = \psi(8*7) = \psi(8)*\psi(7)=4*6=24$

第五种情况
因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积$n=p^{k_1}_1p^{k_2}_2...p^{k_r}_r$

根据第四条结论，得到：

$$ \psi(n)=\psi(p^{k_1}_1)\psi(p^{k_2}_2)...\psi(p^{k_r}_r) $$

再根据第三条结论，得到：

$$ \psi(n) = p^{k_1}_{1} p^{k_2}_{2} ... p^{k_r}_{r} (1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_r}) $$

也就等于

$$ \psi(n) = n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_r}) $$

这就是欧拉函数的通用计算公式。比如1323的欧拉函数，计算过程如下

$$ \psi(1323) = \psi(3^3 * 7^2) = 1323(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{7})=756 $$

欧拉定理

欧拉定理指的是：如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：

$$ a^{\psi(n)} \equiv 1(mod\; n) $$

也就是说，a的$\psi(n)$次方除以n的余数为1。或者说，a的$\psi(n)次方减1可以整除n$。例如，3和7互质，而7的欧拉函数$\psi(7)=6$，所以$(3^6 - 1) / 7 = 728 / 7 = 104$

科普：mod为取模，取模运算与取余运算还是有区别。取余的商靠近0，而取模的商是靠近负无穷的

欧拉定理可以大大简化某些运算。比如，7和10互质，根据欧拉定理，则$7^{\psi(10)} \equiv 1(mod\; 10)$

因此，7的任意次方的个位数（例如7的222次方），心算就可以算出来，因为$7^{222} = (7^4)^{55} * 7^2$，又因为某个整数的个位数，就是这个整数mod 10，所以$(7^{\psi(10)})^{55} * 7^2 \equiv 9 (mod\; 10)$

欧拉定理是RSA算法的核心，只有理解这个定理，才能理解RSA

模反元素

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得(a*b)-1整除n

$$ a * b \equiv 1(mod\; n) $$

这时，b就叫a的“模反元素”

比如，3和11互质，找到3的模反元素4，使得(3*4)-1可以整除11。显然，模反元素不止一个，4加减11的非零整数倍都是3的模反元素{...,-18,-7,4,15,...}。即如果b是a的模反元素，则$b+kn$都是a的模反元素

欧拉定理可以用来证明模反元素必然存在

$$ a^{\psi(n)} = a * a^{\psi(n) - 1} \equiv 1 (mod\; n) $$

可以看到，$a^{\psi(n) - 1}$就是a的模反元素

RSA密钥生成过程

首先假设小红和小明两个人进行通信

因为RSA是非对称加密算法，这也就意味着加密和解密使用的是不同的密钥，生成密钥具体分为六步：

（1）随机选择两个不相等的质数p和q

小红随机选择61和53（实际应用中，两个质数越大，就越难破解）

（2）计算p和q的乘积n

n = 61*53 = 3233

（3）计算n的欧拉函数
这里利用欧拉函数求解的第四种情况：

如果n可以分解成两个互质的整数之积，即$n = p_1 * p_2$，则$\psi(n)=\psi(p_1p_2) = \psi(p_1)\psi(p_2)$，所以$\psi(3233)=\psi(61*53)=\psi(61)*\psi(53)$

又因为61和53都是质数，于是可以根据欧拉函数求解的第二种情况：

如果n是质数，则$\psi(n)=n-1$，所以$\psi(65) * \psi(53)=60*52=3120$

所以$\psi(n)=3120$

（4）随机选择一个整数$e$，条件是$1 < e < \psi(n)$，且$e$与$\psi(n)$互质

小红在1到3120之间，随机选择了17

（5）计算$e$对于$\psi(n)$的模反元素d
所谓模反元素就是指有一个整数d，可以使得e*d除以$\psi(n)$的余数为1，公式表示为

$e * d = 1(mod \; \psi(n))$

这个公式等价于

$e * d - k * \psi(n) = 1$

将$e=17,\psi(n)=3120$带入得

$17d - 3120k = 1$

令$d = x,-k = y$，则

$17x + 3120y = 1$

所以我们要求的模反元素d就是对上面的二元一次方程求解，根据扩展欧几里得算法（辗转相除法）得

上图我们使用拓展欧几里得求得d=-367，但通常我们习惯取正整数，利用模反元素的特性

3和11互质，那么3的模反元素就是4，因为 (3 × 4)-1 可以被11整除。显然，模反元素不止一个， 4加减11的整数倍都是3的模反元素 {…,-18,-7,4,15,26,…}，即如果b是a的模反元素，则 b+kn 都是a的模反元素

所以取$d = d + k\psi(n) = -367+1*3120=2753$

到现在为止，所有的计算都已结束

（6）将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥
首先回归一下一共出现的6个数字：

$p = 61$ 随机数，与$q$互质
$q = 53$ 随机数，与$p$互质
$n = p * q = 3233$
$\psi(n) = 3120$
$e = 17$ 随机数，条件是$1 < e < \psi(n)$，且$e$与$\psi(n)$互质
$d = 2753$ $e$对于$\psi(n)$的模反元素$d$

在这个例子中n=3233，e=17，d=2753，所以公钥就是 (n,e)=(3233,17)，私钥就是(n,d)=(3233, 2753)，这样小红就可以将公钥公布出去，自己保存好私钥就可以了

RSA加解密演示

加密要用公钥(n,e)
假设小明先试探性的给小红发一个字母m = 'A'，由于在通信传输中只能传输0和1，所以我们先将'A'转ASCII码为65，所以m = 65（m必须是整数，且m必须小于n）

所谓加密，就是使用下面的加密公式算出密文c

$m^e = c(mod \; n)$

小明得到的公钥是(n,e) = (3233,17)，m = 65，那么得到下面的等式

$65^{17} = c (mod \; 3233)$

小明通过计算得到c = 2790，所以他就把2790发给小红了

（2）揭秘要用私钥(n,d)
小红拿到小明发过来的密文c = 2790，就用下面的公式进行解密出明文m：

$c^d \equiv m (mod \; n)$

而小红的私钥为(n,d) = (3233,2753)，所以得到下面的等式：

$2790^{2753} \equiv m (mod \; 3233)$

小红通过计算器以算，得m = 65，然后小红对着ASCII码表得出65对应的字母为A

至此，整个加密过程就演示完了，总结一下：

小明获取到小红的公钥(n,e) = (3233,17)
小明选取发送的消息m = 'A' = 65，注意m要小于n，如果消息大于n，必须分段加密！
小明通过加密公式：$m^e \equiv c (mod \; n)$ 算出密文c = 2790
小红获取到小明的密文c = 2790
小红使用解密公式：$c^d \equiv m (mod \; n)$ 算法明文m = 65 = 'A'

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