小和问题

描述

在一个数组中，每一个数左边比当前数小的数累加起来，叫做这个数组的小和。求一个数组的小和。

例子

[1,3,4,2,5]
1左边比1小的数：没有
3左边比3小的数：1
4左边比4小的数：1,3
2左边比2小的数：1
5左边比5小的数：1,3,4,2
所以小和为1+1+3+1+1+3+4+2=16

解题思路

如果直接用两层for循环扫，时间复杂度是$O(n^2)$，但是可以通过归并排序的方法将时间复杂度降到O(nlogn)
具体做法：归并排序分两步，一是分，二是治。分好说，不停的将数组划分为两部分，比如样例，最终划分为如下图所示的样子

分完以后开始治，归并排序的治就是merge的过程，首先对1和3进行merge，在此过程中产生一个小和1；然后将1、3和4进行merge，在此过程中产生小和1、3；然后2和5进行merge，产生小和2；最后将1、3、4和2、5进行一次merge，1比2小，所以一共产生n个1的小和，这个n就是当前右边的数的个数，因为右边有两个数2和5，所以产生2个1的小和，然后将1填入辅助数组，继续比较3和2，2比3小，但是2是右边的数，所以不算小和，然后比较3和5，3比5小，所以产生n个3的小和，因为右侧只有一个数，所以就只产生1个3的小和，同样的，产生1个4的小和
这道题换个角度来想，题目要求的是每个数左边有哪些数比自己小，其实不就是右边有多少个数比自己大，那么产生的小和就是当前值乘以多少个吗？还是以上面的样例举例，1右边有4个比1大的数，所以产生小和1*4；3右边有2个比3大的数，所以产生小和3*2；4右边有一个比4大的数，所以产生小和4*1；2右边没有比2大的数，所以产生小和为2*0；5右边也没有比5大的数，所以产生小和5*0

代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        int n = cin.nextInt();
        int[] arr = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            arr[i] = cin.nextInt();
        System.out.println(smallSum(arr));
    }

    static int smallSum(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length == 0)
            return 0;
        return mergeSort(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    static int mergeSort(int[] arr, int l, int r) {
        if (l == r)
            return 0;
        int mid = l + ((r - l) >> 1);
        return mergeSort(arr, l, mid) + // 左侧产生的小和
                mergeSort(arr, mid + 1, r) + // 右侧产生的小和
                merge(arr, l, mid, r); // merge过程中产生的小和
    }

    static int merge(int[] arr,int l,int m,int r) {
        int[] help = new int[r - l + 1];
        int i = 0;
        int p1 = l;
        int p2 = m + 1;
        int res = 0;
        while(p1 <= m && p2 <= r) {
            res += arr[p1] < arr[p2] ? (r - p2 + 1) * arr[p1] : 0;
            help[i++] = arr[p1] < arr[p2] ? arr[p1++] : arr[p2++];
        }
        while(p1 <= m) 
            help[i++] = arr[p1++];
        while(p2 <= r)
            help[i++] = arr[p2++];
        for(i = 0;i < help.length;i++)
            arr[i + l] = help[i];
        return res;
    }
}