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给定一个数组,求子数组的最大异或和

August 21, 2018 • Read: 661 • 算法

直接说这道题时间复杂度O(n)的做法,构建前缀树。假设将0-0、0-1、0-2、...、0-i-1的异或结果全部装在前缀树中,那么以i结尾的最大异或和就是0到某一位置x的异或结果和i异或结果最大,举个例子,假设x是3,0-3的异或结果和i进行异或得到的结果最大,那么就说明4-i的异或结果是最大的。

但是如何知道x到底是多少,换句话说,0-x中哪个值和i进行异或得到的结果最大。其实这个也比较好想,假设i是0100(最高位0是符号位),只需要沿着前缀树找到0011,异或出来的结果就是0111,一定就是最大的,如果不能刚好找到合适的,那就有什么选什么,只要保证从最高位开始往下每次的决策是最优的就行

有一种特殊情况,假设i还是0100,但是此时前缀树中最高位只有1,没有0,那么最高位得出的异或结果永远是负数,后面的位应该如何选?其实也是按照最优决策去选,假设异或结果是1111,那么转换为十进制就是-1,绝对没有比这还大的负数了

public class Main {
    public static class Node {
        public Node[] nexts = new Node[2]; // 0,1
    }
    
    public static class NumTrie {
        public Node head = new Node();
        
        public void add(int num) {
            Node cur = head;
            for(int move = 31;move >= 0;move--) {
                int path = ((num >> move) & 1);//每一位上的数字(0,1)
                cur.nexts[path] = (cur.nexts[path] == null ? new Node() : cur.nexts[path]);
                cur = cur.nexts[path];
            }
        }
        
        public int maxXor(int num) {//num=0~i的异或结果
            Node cur = head;
            int res = 0;
            for(int move = 31;move >= 0;move--) {
                int path = (num >> move) & 1;//提取每一位
                int best = (move == 31 ? path : (path ^ 1));//最高位期望一样,非最高位期望相反
                best = cur.nexts[best] != null ? best : (best ^ 1);//实际要选的路(如果没有期待选的路)
                res |= (path ^ best) << move;//设置答案的每一位
                cur = cur.nexts[best];//继续往下走
            }
            return res;
        }
    }
    public static int maxXorSubArray(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length == 0) 
            return 0;
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        int xor = 0;
        NumTrie numTrie = new NumTrie();
        numTrie.add(0);
        for(int i = 0;i < arr.length;i++) {
            xor ^= arr[i];
            max = Math.max(max,numTrie.maxXor(xor));
            numTrie.add(xor);
        }
        return max;
    }
}
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