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枚举+优化(8)——前缀和2

June 11, 2018 • Read: 401 • 算法

例3.题目链接:hihoCoder1534

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这道题要注意一下数据范围。首先N小于等于10万。其次Ai,也就是数组中每个数的值,是在负100万到正100万之间。假如这里Ai都是正整数的话,那么总共的划分方法不会太多,因为随着p增大,第一段的和S1是不断增大的。

但是因为这里Ai有可能是0,也有可能是负数,所以划分方法可能非常多。例如有可能数据是10万个Ai全都是0。这样随便一个划分都是满足条件的。答案是C(99999, 2),甚至超过了int范围。

我们看一下样例,A数组是[3, 2, 1, 0, 2]。一共有3种切分方法:第一种是3|2|1 0 2,3单独一组,2单独一组,然后1 0 2一组,三段的和依次是3,2,3;第二种是3|2 1|0 2|,3单独一组,2和1一组,0 2一组,三段的和依次是3,3, 2;第三种是3|2 1 0|2,3单独一组,2 1 0一组,0单独一组,三段的和依次是3 3 2。

思路

这道题一个基本的思路就是枚举3段的断点p和q,然后求出来3段的和S1, S2和S3。然后判断S1,S2和S3是不是满足题目要求,也就是相差不超过1。如果满足条件就给答案累加1。因为这里S1,S2和S3都是部分和,所以可能用前缀和来计算。但是在此之前,我们需要一个函数来判断三段和是否满足条件,如果满足条件就让结果+1。伪代码如下:

Ok(S1,S2,S3):
If |S1 - S2| <= 1 and |S1 - S3| <= 1 and |S2 - S3| <= 1
    return true
return false

然后我们预处理前缀和,以及进行枚举。伪代码如下:

//预处理前缀和
S[0] = 0
For i = 1...N
    S[i] = S[i - 1] + A[i]
//枚举+判断
Ans = 0
For p = 1...N-2
    For q = p+1...N-1
        S1 = S[p]

上面这个伪代码预处理前缀和的复杂度是O(N)。后面枚举pq的复杂度是O(N^2^)。对于确定的pq,判断三段和是不是满足条件是O(1)。所以整体复杂度是O(N^2)。至此,题目中70%的分数应该能拿到了,还有30%需要优化

优化

优化的方法当然还是从枚举入手,我们假设只枚举q,也就是最后一段的断点。我们来分析一下这时候我们知道哪些信息,距离我们要的答案还有多远。

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看上图,假设A数组是[3, 2, 1, 0, 2],然后我们枚举q=N-1,也就是第三段只包含A[N]=2这一个数。在q已经确定的情况下,可以知道S3的值。比如上面的例子中S3=2。根据题目要求S1、S2和S3的差不能超过1。所以对于一个合法的切分方案,S1的取值只可能是S3-1, S3, S3+1三种,也就是1,2,3

但是由于S1+S2+S3的和是整个数组的和,也就是8。所以S1的三种取值不见得都能成立。比如S1=1这种情况,由于S3=2是确定的,所以S2一定等于8-1-2=5。这是S2与S3相差超过1,不符合题目要求。所以S1=1这种情况不成立。同理S1=2也是不成立的。但是S1=3是成立的,因为这时S2的值是8-3-2=3。S2与S1和S3相差都不超过1

在S[1], S[2]和S[3]三个前缀和中,有几个的值是3。因为每有一个前缀和的值是3,都等价于找到了一种满足条件的切分方案:我们把这个前缀作为第一段,它的和等于3;剩下的就是第二段,它的和一定是3

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实际例子中我们可以看上图,绿色的数组是前缀和。S[1], S[2], S[3]分别是3,5,6,只有S[1]=3。所以q=N-1这种情况下,只有一种切分方案:3|2 1 0|2

上面是q=N-1的情况,我们再枚举q=N-2的情况,如下图:
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S3还是等于2。S1的可能取值还是S3-1,S3,S3+1,也就是1,2,3。其中只有S1=3时,S2的值满足题目要求。所以我们的问题变成S[0]和S[1]中,有几个前缀和等于3?
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因为前缀和S[1]=3, S[2]=5,所以还是只有S[1]=3一个解。于是q=N-2这种情况下,也只有一种切分方案:3|2 1|0 2

最后一种情况是q=N-3的时候:
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这时S3值是3。于是S1的取值范围是S3-1, S3, S3+1,也就是2, 3, 4。S1=2是成立的,因为这时S2=8-2-3=3,{2, 3, 3}相差都不超过1。S1=3也是成立的,因为这时S2=8-3-3=2,{3, 2, 3}相差都不超过1。S1=4是不成立的。于是我们的问题变成,前缀和S[0]中,有几个前缀和的值是2,有几个前缀和的值是3
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这时只有S[1]=3一个前缀和满足条件,所以q=N-3时,只有一组划分方法:3|2|1 0 2

上面我们就把样例的3种划分方法都求出来了。我们回顾一下上面的思路,基本就是从N-1到2枚举q,对于每一个q,我们都要求一类问题的解:

q = N-1时,前缀和S[1], S[2], … S[N-2]中有几个前缀和的值是X?(这里X可能是S3-1, S3, S3+1)

q = N-2时,前缀和S[1], S[2], … S[N-3]中有几个前缀和的值是X?(这里X可能是S3-1, S3, S3+1)



q = 2时,前缀和S[1]中有几个前缀和的值是X?(这里X可能是S3-1, S3, S3+1)

当然上面枚举q的过程中S3的值会变化,另外注意我们关心的前缀和集合也在变短。

对于这一类问题,就是一堆前缀和中,有几个X,我们当然可以用哈希表来实现。使得每次询问的复杂度都是O(1)的。具体来说,我们可以用unordered_map<long long, int> cnt来保存每个值出现了几次,例如cnt[3]表示前缀和是3的有几个。注意这里key的类型是long long,因为前缀和可能超过int范围

#include <iostream>
#include <unordered_map>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,a[100001];
long long s[100001],ans = 0;
unordered_map<long long,int> cnt;

bool ok(long long s1,long long s2,long long s3)
{
    if(abs(s1 - s2) <= 1 && abs(s1 - s3) <= 1 && abs(s2 - s3) <= 1)
        return true;
    return false;
}

int main()
{
    cin >> n;
    s[0] = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        cin >> a[i];
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
        if(i < n)
            cnt[s[i]]++;
    }
    long long s3 = 0;
    for(int q = n - 1;q >= 2;q--)
    {
        s3 += a[q + 1];
        cnt[s[q]]--;
        for(long long s1 = s3 - 1;s1 <= s3 + 1;s1++)
        {
            long long s2 = s[n] - s1 - s3;
            if(ok(s1,s2,s3))
                ans += cnt[s1];
        } 
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

第二次作业 hihocoder 1604

image

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1000100;
int A[N];
int main()
{
    int n,j;
    cin >> n; 
    int ans = 0; 
    for(int i = 0;i < n;i++) 
        cin >> A[i];
    //从最后一天开始枚举 
    for(int i = n - 1;i >= 0;i = j)
    {
        for(j = i - 1;j >= 0;j--)//j从i的前一天开始一直向前枚举 
        {
            if(A[j] < A[i])//如果前面有价格比今天低的 
                ans += A[i] - A[j];//第j天买入,第i天卖出,赚取利润 
            else
                break;
        }
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

这段代码都比较好理解,唯一有一个地方,就是第16~21行,尤其是20,21行,很多人可能会困惑,为什么A[j]>=A[i]就要break,看下面的图讲解,可能更好理解
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一开始i指向N-1,也就是末尾的位置,j指向i的前面一位,假如不break,而是直接跳过这个值,程序继续执行下去,最后算得的ans应该是2+1+4+3+7=17。如果break,那么程序就会变成下图所示:

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这种情况下算得的ans是3+2+5+4+8=22。这是为什么?我们仔细分析一下原因:

  1. 假设A[i]前面的所有数都比A[i]大,而且越往前越大,那ans最大也就是0了,因为股票的价格随着时间越往后越小,所以买股票一定是亏的,干脆不买,那就是0
  2. 如果排除第一种情况,也就是说,你在第i天买的股票后面总有一天的价格会比A[i]大,对于这种情况,就以上面的图来举例,假设第一天你买股票,那么第二天你是卖掉第一天的股票还是买呢?(什么都不干肯定是最亏的,这我们就不考虑了)假设你卖,那么你就变相相当于损失了4,为什么是4,如果你买了5,那你在9可以卖掉5,但是如果你不买,你不就没有卖的了么,1在哪都可以卖,所以你干嘛不买5呢
  3. 关于往前移动的问题,首先我们知道,假设A[i]=3,如果A[i-1]>A[i],因为A数组都是正整数,所以A[i-1]最小也可以是A[i]+1,那么所有股票在A[i-1]卖掉的钱都比A[i]至少多1
    image

如果你还有疑问,想想上图这种情况,或许你就会豁然开朗

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