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第五届蓝桥杯Java B——矩阵翻硬币

March 9, 2019 • Read: 455 • 算法

小明先把硬币摆成了一个 n 行 m 列的矩阵。

随后,小明对每一个硬币分别进行一次 Q 操作。

对第x行第y列的硬币进行 Q 操作的定义:将所有第 i*x 行,第 j*y 列的硬币进行翻转。

其中i和j为任意使操作可行的正整数,行号和列号都是从1开始。

当小明对所有硬币都进行了一次 Q 操作后,他发现了一个奇迹——所有硬币均为正面朝上。

小明想知道最开始有多少枚硬币是反面朝上的。于是,他向他的好朋友小M寻求帮助。

聪明的小M告诉小明,只需要对所有硬币再进行一次Q操作,即可恢复到最开始的状态。然而小明很懒,不愿意照做。于是小明希望你给出他更好的方法。帮他计算出答案。

【数据格式】
输入数据包含一行,两个正整数 n m,含义见题目描述。
输出一个正整数,表示最开始有多少枚硬币是反面朝上的。

【样例输入】
2 3

【样例输出】
1

【数据规模】
对于10%的数据,n、m <= 10^3;
对于20%的数据,n、m <= 10^7;
对于40%的数据,n、m <= 10^15;
对于10%的数据,n、m <= 10^1000(10的1000次方)。

资源约定:
峰值内存消耗(含虚拟机) < 256M
CPU消耗 < 2000ms

思路

最后一道编程题,有点水平的,还是要好好写写题解

考虑一般的情况,对于某个矩阵位置$(x,y)$反向回推,$(x,y)$初始状态是正面向上的,经过若干次翻转行,列以后导致他变成反面向上,很明显,这个"若干次",一定是奇数次

$x$的因子假设为$x_1,x_2...x_p$,$y$的因子假设为$y_1,y_2...y_q$,这些因子两两任意组合就能构成$p\times q$个点。

也就是说,如果$x$的因子个数$p$乘以$y$的因子个数$q$为奇数,那么$(x,y)$就是反面朝上的了。因为只有奇数$\times$奇数$=$奇数,所以要求$x$的因子个数和$y$的因子个数必须都为奇数。又因为只有完全平方数的因子个数为奇数,所以问题就转化成了,判断$x$和$y$是否同时是完全平方数。到这里已经可以拿20%的分了

由于$n$和$m$的范围太大,所以不能每个坐标去枚举是否是完全平方数。这里就要用到另一个重要的性质:$1-n$内完全平方数的个数为$\sqrt{n}$个

$1-n$内完全平方数有$x_1,x_2,...x_{\sqrt{n}}$,$1-m$内完全平方数有$y_1,y_2,...,y_{\sqrt{m}}$,两两组合总共有$\sqrt{n}\times \sqrt{m}$个点最终反面朝上

但是由于这题$n$和$m$太大,所以需要手动实现一个大数开根号的方法,其中还有一个性质:一个数的长度为$n$,开方以后的数长度为$\frac{n}{2}$

import java.math.BigInteger;
import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner cin = new Scanner(System.in);
        String n = cin.next();
        String m = cin.next();
        System.out.println(sqrt(n).multiply(sqrt(m)));
    }

    private static BigInteger sqrt(String s) {
        int length = s.length();
        int len = length % 2 == 0 ? length >> 1 : (length >> 1) + 1;
        char[] arr = new char[len];
        Arrays.fill(arr, '0');
        BigInteger target = new BigInteger(s);
        for (int pos = 0; pos < len; pos++) {
            for (char c = '1'; c <= '9'; c++) {
                arr[pos] = c;
                BigInteger pow = new BigInteger(String.valueOf(arr)).pow(2);
                if (pow.compareTo(target) == 1) {// pow bigger than target
                    arr[pos] -= 1;
                    break;
                }
            }
        }
        return new BigInteger(String.valueOf(arr));
    }
}
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